ALCANCE DE UM PROJÉTIL EM FUNÇÃO DO ÂNGULO DE
LANÇAMENTO
Wenderson Rodrigues Fialho
da Silva - Viçosa, 28 de junho de 2017
OBJETIVO
Este experimento tem por objetivo analisar o movimento de um projétil abandonado em uma calha de lançamento com dada velocidade horizontal inicial.
CONTEXTO TEÓRICO
Um projétil é um objeto que é lançado no espaço. Feito isso, ele descreve uma trajetória que pode ser estudada usando algumas leis físicas do movimento. Quando usados em aplicações militares esses projéteis são os mísseis, munições de armas (balas), bombas, flechas e a área da mecânica que estuda a trajetória, a produção e o melhoramento desses equipamentos é a balística. Entretanto há objetos como uma bola de futebol quando arremessada no espaço, a água que sai de uma mangueira na horizontal e até a urina que sai do pênis em direção ao mictório têm características intrínsecas ao movimento de um projétil, características estas que estão diretamente ligadas ao movimento “parabólico” que ele descreve no espaço. Precisamente, a trajetória de um projétil é uma elipse, que se acentua quando se considera distâncias muito grandes, como por exemplo, a trajetória de um míssil intercontinental, mas para distâncias pequenas (algumas centenas de metros), essa elipse difere de uma parábola em alguns micrômetros, variação insignificante para efeitos práticos.
Um corpo quando lançado está sujeito a forças que agem sobre ele, como a força da gravidade (força peso), o empuxo do fluido em que se move, a força relacionada ao movimento de rotação da terra e, se o meio oferecer alguma resistência, a força de resistência do meio. Se conhecemos a posição e a velocidade de um corpo em dado estante, a trajetória que ele percorre pode ser determinada. Para o movimento de um projétil, sua trajetória tem duas direções, uma vertical e outra horizontal, que estão contidas no mesmo plano. Um fator muito importante para a análise desse comportamento é que os movimentos vertical e horizontal estão intimamente relacionados no tempo. O tempo que um projétil gasta para cair verticalmente de dada posição é igual ao tempo que ele gasta para cair da mesma altura sendo lançado horizontalmente.
Figura (1) - Uma esfera solta (queda livre) e outra lançada horizontalmente
No nosso experimento as relações matemáticas que descrevem o fenômeno são expostas abaixo.
O alcance é a distância horizontal entre a saída do lançador e o local onde o projétil atinge, dado por $x=x_0+v_0 cos(θ)t$, onde $v_0$ é a velocidade inicial do projétil, $θ$ é o ângulo de inclinação do lançador acima da horizontal, e $t$ é a tempo do vôo. Veja a figura (2):
Figura (2) - lançamento em uma superfície nivelada
Para o caso em que o projétil atinge um ponto que está no mesmo nível que a ponta do lançador, o tempo de vôo do projétil será duas vezes o tempo que leva para atingir o pico de sua trajetória. No pico, a velocidade vertical é zero, então:
$v_y=v_0 senθ-gt=0$ (1)
Sendo assim, pode-se extrair o valor do tempo t da equação (1), sendo:
$t=\frac{v_0 senθ}{g} $ (2)
Como já mencionado, o tempo do projétil no ar será $t_{no ar}=2t$, portanto:
$t_{no ar}=\frac{2 (v_0 senθ)}{g} $ (3)
O alcance do projétil, $R$, será dado por:
$R=x-x_0=v_{0_x } t_{no ar}= \frac{2v_0 cosθ (v_0 senθ)}{g}$ (4)
Sendo $x$ o deslocamento horizontal num tempo $t$, $x_0$ a posição inicial e $v_{0_x }$ a componente horizontal da velocidade inicial do projétil.
Usando a identidade trigonométrica, $2senθcosθ=sen2θ$, obtemos que:
$R=\frac{(v_0)^2 sen2θ}{g} $ (5)
Isolando $v_0$ na equação (5), obtemos que:
$v_0=\sqrt{\frac{gR}{sen2θ}}$ (6)
Para simplificar a análise de nosso experimento consideraremos que o projétil descreve um movimento no plano $xy$. O projétil escolhido foi uma esfera de plástico com de diâmetro $d=25,50±0,03 mm$ de modo a minimizar a influência do ar em sua trajetória, o que nos levou a desconsidera-la. O valor da aceleração da gravidade local $g$ (Viçosa – MG) é igual a $9,78 \frac{m}{s^2} $.
MATERIAIS UTILIZADOS
METODOLOGIA
Medidas cuidadosas foram realizadas a fim de se obter o alcance máximo de um projétil (esfera de plástico) em função de 12 diferentes ângulos de lançamento.
Primeiramente, fixamos o lançador em uma das extremidades de uma mesa resistente. Em seguida apontamos o lançador para uma direção em cima da mesa, de tal modo a possibilitar que o projétil atinja a superfície desta.
Ajustamos o lançador com um ângulo de inclinação de 10 graus e colocamos a esfera nele e, por meio de um lançamento teste, determinamos onde a esfera atingia a mesa. Nessa posição colocamos uma caixa de papelão de modo a nivelar a superfície onde a esfera atingiu com a ponta do lançador, ($x_0$). Em cima da caixa fixamos o papel sulfite branco e acima dele colocamos o papel carbono, usado para marcar, por meio do impacto da esfera sobre ele, a posição que ela alcançou, ($x$).
Após serem ajustados os equipamentos, realizamos 5 disparos para cada ângulo proposto na tabela (1). Para cada disparo foi registrado o alcance medido, com a fita de medição, a distância alcançada pelo projétil, que tinha origem na ponta do lançador até o local do impacto da esfera acima da caixa.
Vale ressaltar que essas calibrações das posições referentes ao alcance do projétil foram feitas para cada um dos doze ângulos medidos e, para cada ângulo analisado, foram realizados cinco lançamentos, obtendo assim o alcance médio do projétil, visando com isso minimizar os erros inerentes ao processo experimental.
Para analisar a velocidade por meio do sensor photogate foi adotado a seguinte montagem:
Acoplamos o sensor (na ponta do lançador) para mediar o tempo de obstrução da esfera quando passa por ele. Esse tempo foi obtido, de quatro lançamentos e registrado na tabela (2) a seguir.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Com os resultados obtidos completamos a seguinte tabela (1) abaixo:
As velocidades de lançamento foram obtidas utilizando a equação (6) e os valores dos alcances médios para cada ângulo de lançamento.
Os valores da tabela (1) foram transformados no gráfico (1), utilizando um software chamado Origin, para melhor visualização da dependência dos valores. O gráfico se assemelha a uma senoide, assim como o esperado, por tratar-se de uma função seno.
Como a relação entre $R$ e $θ$ não é linear, vamos usar uma mudança de variável através de um processo de linearização.
$φ=sin2θ $
O coeficiente de correlação linear, calculado pela calculadora HP 50G foi de $r=0,97$. Os coeficientes foram; angular = 1.61m e linear = 0.17m.
$R=1.61 sen2θ+0.17$
Outra analise que fizemos foi sobre a velocidade inicial do projétil.
$ \frac{v_0^2}{g}=1.61 ⇒ v_0 =\sqrt{1.61*9,78}=3.97m/s$
Usando a média dos valores das velocidades iniciais presentes na tabela (1), obtivemos: $v_{inicial médio}=4,11m/s$. Como não se sabe qual dos dois valores está correto, toma-se a média dos valores como referência e calcula-se a diferença relativa desses valores em relação a essa média.
$|V|=\frac{v_{inicial médio}+v_0}{2}=\frac{4,11+3,97}{2}=4,04m/s$
Esses dois valores apresentam um desvio relativo γ de:
$γ=\frac{v_{inicial médio}-v_0}{|V|} =\frac{4,11-3,97}{4,04}=0,034=3,4%$
Essas duas estimativas da velocidade inicial revelam uma imprecisão de $3,4$%.
Uma terceira medida foi realizado com o uso do photogate que indicou o tempo de obstrução da esfera de plástico no sensor, representado na tabela (2) abaixo:
De pose do valor do $t_{médio}$ e do valor do diâmetro da esfera $D=25,50±0,03 mm$, calculamos o valor da velocidade $v_{photogate}$ que a esfera é lançada.
$limite superior da velocidade =\frac{0,02553}{0,0052}=4,91m/s$.
$limite inferior da velocidade =\frac{0,02547}{0,0054}=4,72m/s$.
O valor estimado da velocidade $v_{photogate} $ será:
$v_{photogate}=4,82±0,10 m/s$.
Calculamos o erro percentual da velocidade obtida por regressão linear em relação a velocidade obtida pelo uso do photogate:
CONCLUSÃO
O valor obtido pelo coeficiente de correlação mostra que os dados experimentais aderem muito bem a previsão teórica, ou seja, o alcance é proporcional a $sen(2θ)$. O coeficiente linear diferente de zero indica a existência de erros experimentais.
Através do relacionamento analítico encontramos o coeficiente angular, pelo qual nós encontramos um valor para velocidade que ao ser comparado com o valor medido utilizando o photogate mostrou um erro de $17,63$%.
O coeficiente linear indicou que teríamos um alcance de 17cm para um lançamento totalmente horizontal, isso pode ser resultado da alta velocidade de lançamento acrescido da dificuldade em conseguir uma altura no ponto de queda idêntica à de lançamento (nivelamento).
Por fim, a relação analítica nos mostra que o alcance varia dentro de um intervalo específico que depende do ângulo de lançamento, sendo o ângulo máximo encontrado quando $sin2θ=1 ⇒ 2θ=90° ⇒ θ=45°$, voltando a diminuir a medida que aumentamos o ângulo. Isso significa que o gráfico de alcance por $sin2θ$ é limitado no intervalo $0≤sen2θ≤1$, já que o alcance deve ser positivo.
Fontes:
Figura (1)
Figura (2)
Figura (3)
https://azeheb.com.br/media/catalog/product/cache/1/small_image/600x450/9df78eab33525d08d6e5fb8d27136e95/6/2/62001027_lancador-de-projeteis.jpg
