quarta-feira, 6 de fevereiro de 2019

Experimento sobre a 1ª Lei da Termodinâmica: Equivalente mecânico do calor



Demonstração sobre a 1ª Lei da Termodinâmica
Equivalente mecânico do calor


Wenderson Rodrigues Filaho da Silva, UFV, 20 de março de 2018.


OBJETIVO
      Realizar uma demonstração experimental a respeito da primeira lei da termodinâmica, enfatizando a equivalência entre a energia mecânica e o calor.


CONTEXTO TEÓRICO
Esfregando dois pedaços de madeira, o homem das cavernas conseguia produzir o fogo que o aquecia em tempos frios e o iluminava nos interiores das cavernas. Posteriormente, utilizando também o fogo, o homem notou que os alimentos ficavam mais saborosos quando cozidos. Há tempos as palavras calor, quente e frio têm encontrado, no senso comum, um significado que, devido a sua validade, tal como a mensuração pelo sentido do tato são, há muito tempo, largamente utilizadas. Podemos dispor em ordem diversos corpos, do mais quente para o mais frio, identificar as estações de plantio e colheita de uma cultura e, também, tomar ciência das condições climáticas favoráveis para a escolha de uma vestimenta. “Hoje está fazendo calor, vista uma roupa mais fresca.”; “não toque neste recipiente, ele está quente.”; “nossa! Que sala fria! Desligue o ar condicionado!”. Essas e outras, são frases que popularmente ouve-se falar, mas, devido a sua particularidade, principalmente por ter origem em pessoas distintas, não podemos confiar precisamente. O nosso sentido é limitado em amplitude e precisão, não servido assim para utilização em ciência.
Foi apenas no século XVIII, época esta em que a mecânica do movimento atingira um estágio que a descrição dos movimentos dos planetas já era bem conhecida, que estudos de Benjamin Thomson, o conde Rumford (1753 - 1814) - físico norte-americano de Boston e posteriormente de James Prescott Joule (1818 - 1889) - físico inglês, ambos na época chamados de filósofos naturais, que se teve uma formulação concisa a respeito do conceito de calor, possibilitando a descrição da natureza das transformações térmicas, as quais relacionam a energia mecânica de um sistema com o calor, que veio a ser considerado uma forma de energia em trânsito.
[1]Observações feitas por um médico alemão, Julius Robert Mayer (1814 - 1878 ), em 1842, já apresentavam a ideia de que a energia se conservava em todo o universo.  Mas como dito, foi Joule que verificou experimentalmente e concluiu tais observações, o que posteriormente fundamentou a formulação matemática a respeito da termodinâmica feita por Hermann von Helmholtz (1821 - 1894), matematico, medico e físico alemão, em 1847.
O estudo das relações quantitativas entre o calor e outras formas de energia é chamada de Termodinâmica. Neste experimento usaremos a primeira lei da termodinâmica para estudarmos a relação entre a energia calorifica e a energia mecânica, buscando obter a seguinte equivalência:

$1$ $Caloria$ $=$ $4,18$ $Joules$

A primeira lei enuncia que: “A variação da Energia Interna, $∆U$ ,de um sistema vale o Calor, $Q$, que lhe é fornecido menos o Trabalho, $τ$ ,que ele realiza”.

Matematicamente:                                    $∆U = Q-τ$

Um sistema mudará sua energia interna numa mesma quantidade, independentemente se a interação for somente por troca de calor (trabalho nulo) $∆U=Q$, ou somente pela realização de trabalho (não há trocas de calor com o meio externo), ou seja $∆U= -τ$, isto é, sua energia interna sofrerá a mesma variação. Como em nosso dispositivo consideraremos que toda energia gasta pelo motor será transferida na forma de energia mecânica para o sistema (calorímetro e água) e essa energia será totalmente convertida em energia interna pelo sistema. Segue que:

$∆U=Q$ e  $∆U=-τ$       →      $Q_{recebido pela água}= - τ_{trânsferido à água}$


Observação: Na convenção de sinal do trabalho em Termodinâmica, ele é positivo quando realizado pelo sistema sobre a vizinhança e negativo quando realizado pela vizinhança sobre o sistema, que é o presente caso, daí a necessidade do sinal menos para que o valor seja positivo.
Logo, temos que:

$m_{água}.c_{água}.∆T+C.∆T= V.i.t$        (1) 

Onde $m$ é a massa (em gramas) de água utilizada, $c$ é o calor específico da água (em calorias/(grama. grau celcius)), $∆T$ é a variação da temperatura (em graus celcius) do sistema (água mais calorímetro), $C$ é a capacidade térmica do calorímetro (em calorias/grau celcius) e $V$, $i$, $t$ são respectivamente, a tensão (volts) aplicada ao motor, a corrente elétrica (amperes) e o tempo (segundos) de funcionamento do motor (dispositivo de agitação).
Notem que há algumas grandezas físicas desconhecidas para alguns, todavia servirão para que possamos calcular a energia elétrica fornecida ao sistema, que será transformada em energia mecânica nas pás. Sendo assim, adotem no momento como sendo uma ferramenta útil e simples, que vocês verão com mais detalhes na terceira série do ensino médio. 
                                                                                                                                                         MATERIAIS
            Um motor de 12 volts; um eixo acoplado a uma pá (que movimentará a água e foi confeccionada com um parafuso e uma forma de empadas); um termômetro; um calorímetro (feito com uma lata de embalagem e um copo de isopor); fonte de 5 volts; suporte para fixar o motor; um amperímetro; um voltímetro; um cronômetro; uma balança; um copo; água.
 
                                                                                                                                                        EXPERIMENTOS

METODOLOGIA PARA MONTAGEM DO EXPERIMENTO

            Primeiramente, disponha os materiais sobre uma mesa. Com o auxílio da balança pese 150 g de água (caso tenha acesso, use água destilada), que corresponde a mais ou menos 150 ml. Para facilitar a pesagem, coloque o copo sobre a balança e clique na opção tarar, caso a tenha. Logo após, despeje as 150g de água no calorímetro. Com o motor já acoplando no eixo, fixe-o no suporte e coloque seu eixo dentro do calorímetro (como na foto abaixo). Tampe o calorímetro e coloque o termômetro no furo que se encontra na tampa até o mesmo encostar na água. Aguarde uns 5 minutos. Observe se o eixo encosta nas laterais do calorímetro e caso encoste, ajuste-o até que gire livremente e em contato com a água.
            A fonte de tensão que utilizaremos já dispõe de um amperímetro e um voltímetro acoplados, o que facilitará na montagem do experimento. Caso a fonte utilizada não tenha esses dispositivos acoplados, deve-se liga-los de modo que o voltímetro fique em paralelo com a fonte e o amperímetro fique em série com a mesma. Feito isso, com a fonte previamente ajustada para 5 volts e ainda desligada, deve-se conectar os respectivos terminais da fonte ao motor.
O esquema do circuito (fonte, motor mais medidores) é o que se segue abaixo:
Esquema elétrico da montagem:  fonte regulável ligada ao motor com o amperímetro em série e o voltímetro em paralelo com a mesma. 

METODOLOGIA PARA EXECUÇÃO DO EXPERIMENTO

Já com todo aparato experimental montado, zere o cronômetro e com todos ajustes citados anteriormente já executados, dispare o cronômetro e ligue a fonte. Observe se o amperímetro está realizando a medida da corrente elétrica e se a tensão corresponde ao valor previamente estabelecido, caso varia um pouco, basta considerá-la na hora dos cálculos. Espere até que a água varie sua temperatura em 0,1 ou mais, o que levará, em média, 135 segundos. Faça as anotações dos valores das grandezas envolvidas, $m$, $c$, $∆T$, $C$ $V$, $i$, $t$. A capacidade térmica do calorímetro foi previamente calculada (com o eixo do motor em seu interior), sendo $C={21,7  calorias}/(°C)$.

QUESTIONÁRIO
1.      Com base no procedimento experimental proposto, qual foi a relação encontrada, utilizando a equação (1), do valor em calorias fornecido à água em relação ao trabalho realizado pelo sistema mecânico?
2.      O valor do equivalente calorifico em joules é o previsto? Ou seja, 1 caloria é igual a 4,18 joules? Se não, comente sobre as fontes que podem ter ocasionado o erro.
3.      O experimento ilustra o conceito de transferência de energia mecânica em energia térmica? Se sim, como?

FONTES DAS IMAGENS:


REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS:


[1] Enciclopedia Prática jackson

WILLIAMS, J.E.; METCALFE, H.C.; TRINKLEIN, F.E.;LEFLER, R.W.;MELO, L.J.S. Física Moderna: curso programado. Editora Renes: Rio de Janeiro. 1ºV,1970, Unidade 3

quinta-feira, 3 de janeiro de 2019

Crescimento de um cristal de Sulfato de Cobre.



Estudo quantitativo sobre a taxa de crescimento de um cristal de $CuSO_{4}$


Wenderson Rodrigues Fialho da Silva – Viçosa, 13 de outubro de 2018.


Figura 1 - Monocristal de Sulfato de Cobre.
O monocristal de sulfato de cobre $CuSO_{4}. 5H_{2}O$  de massa $M = 21,98g$  e com $5𝑐𝑚$  de comprimento (Figura 1 acima) foi obtido por meio de uma solução supersaturada, dissolvendo-se 200g de $CuSO_{4}.5H_{2}O$  (sulfato de cobre penta-hidratado, utilizado, entre outros, para limpeza de piscinas) em 200g de água à aproximadamente 100ºC. O produto dessa dissolução gerou uma solução supersaturada, a qual, no resfriamento, gerou vários cristais, com dimensões de alguns milímetros, dos quais um foi retirado para continuar o processo de cristalização (o cristal mais bem formado, com as faces bem definidas), com massa $M_{inicial} = 0,98g$ . Os demais foram retirados da solução.
        Após uma filtragem para separar os demais cristais da solução, o cristal escolhido para continuar a cristalização foi amarrado em uma linha de costura presa em um palito (figura 2), depois colocado novamente na solução e o conjunto levado para um local sombreado (temperatura ambiente) e sem perturbações mecânicas. Todo o conjunto foi tapado com um papel toalha.
Figura - 2.
Semanalmente foi filtrada a solução afim de deixa-la limpa e evitar possíveis interferências de algumas partículas do ar (poeira) dissolvidas na solução que pudessem prejudicar a pureza do cristal.
          Semanalmente, também, foi medido a massa do cristal, com uma balança com precisão de duas casas decimais, afim de construir um estudo analítico quantitativo sobre crescimento do cristal $𝐶𝑢𝑆𝑂_{4}$. O processo de pesagem foi feito retirando o cristal da solução e, logo após, encostando-o em um papel toalha, afim de retirar a solução do seu corpo. Sem pressionar o cristal contra o papel, simplesmente, deixando-o sobre aquele. Logo após, foi medido a sua massa e o tempo decorrido de crescimento associado a medição, e os valores correspondentes registrados.




           Feito isso, com um intervalo de tempo de dois meses, foi possível construir a tabela 1 abaixo e com ela plotar um gráfico que se segue:
É possível retirar algumas informações interessantes a respeito do modo como o cristal cresceu. Claramente pode-se observar uma tendência linear de crescimento, ou seja, diante dos dados coletados, o valor slope refere-se à inclinação da reta que melhor se correlaciona com os pontos experimentais, e indica a massa adquirida diariamente pelo cristal, que é de $0,29g$ . O valor Intercept nos mostra qual é o ponto onde a reta da regressão intercepta o eixo y, ou seja, qual era a massa inicial do cristal quando $t = 0$ , sendo esta igual a $0,91g$, massa do primeiro cristal coletado e pendurado no barbante. Esse valor, comparado com o valor medido no início do experimento $𝑀_{𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙} = 0,98g$, mostrou-se bem próximo, com um erro percentual de apenas $6,58%$.
          Analisando o gráfico acima, em que na regressão foi omitido o último ponto (explicação a seguir), podemos obter uma equação que descreve como o cristal cresce (adquire massa) em função do tempo. A equação é a seguinte:
$𝑀(𝑡) = 0,29𝑡 + 0,92$

em que  $M$ é a massa do cristal e $t$ é o tempo de crescimento.
           O último ponto foi omitido pois, para ele, o cristal já não mais adquiriu massa, como pode-se observar na tabela acima, sendo esse ponto correspondente a um tempo entre 71 e 78 dias, a massa do cristal não cresceu mais, sendo esse período, de aproximadamente 2,5 meses, o tempo limite  relacionado ao crescimento desse cristal nessa solução, pois, como não foi acrescentada novas soluções supersaturas a aquela usado no crescimento, a massa de sulfato de cobre disponível na solução diminuía, enquanto a do monocristal aumentava, até que se atingia um equilíbrio químico no meio, e não mais migrasse íons da solução para o cristal e vice-versa.

Esse equilíbrio químico acontece quando a solução adquire maior estabilidade nas condições ambientes onde ela está inserida. Logo, pode ser afetado pela temperatura, pressão e umidade locais. Acredito que, a partir de 71 dias de crescimento, esse equilíbrio foi atingido, mas perturbações ambientes foram as que provocaram uma ligeira diminuição da massa do cristal nesses últimos dias, fazendo com que o cristal cedesse íons para a solução, e diminuísse sua massa.
Para finalizar, um exercício interessante utilizando a equação acima pode ser feito. Supondo que a regressão feita seja válida para o caso em que fosse trocada, periodicamente, a solução supersaturada por uma nova, qual seria o tempo para que se pudesse obter um monocristal de 1kg de  $CuSO_{4}$  ?
Utilizando a equação acima, verifica-se que:


$𝑀(𝑡) = 0,29𝑡+0,92  →  𝑡=(𝑀(𝑡)−0,92)/0,29 = 3445 𝑑𝑖𝑎𝑠 ≅ 115 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 ≅ 9,6 𝑎𝑛𝑜𝑠.$

Um tempo que, para um cultivo em laboratório seria uma eternidade, porém, na natureza, um tempo geológico muito curto. Na natureza, esse cristal ocorre como os minerais Calcantite, Bonatite, Boothite [1], entre outros.
Em breve publicarei aqui sobre outros cristais que cresci em casa e seus correspondentes na natureza. Estou pesquisando também sobre uma possível relação das dimensões da cela unitária do cristal com as dimensões das faces macroscópicas do mesmo. Ainda estou estudando e, caso obtenha algo interessante, publicarei aqui (http://www.meu-cosmos.blogspot.com).


[1]

domingo, 16 de dezembro de 2018

Nota de uma aula de campo (geologia/pedologia) da UFV.


Aula de campo sobre solos aos arredores de Viçosa - MG


Wenderson Rodrigues Fialho da Silva -  Viçosa, 20 de Agosto de 2018.

Primeira parada: Solo gnáissico aos arredores da ESUV.


Morro analisado.
       O solo apresentou-se, nesta localidade, com dois horizontes bem definidos. O horizonte C foi distinguido por apresentar mais características da rocha mãe, o gnaisse. Essa é uma rocha metamórfica, de origem ígnea (ortognaisse), com estrutura orientada (bandeamento gnáissico), cuja constituição mineralógica é composta de feldspato de potássio (linhas claras), quartzo e a mica biotita (regiões escuras), podendo haver outros minerais acessórios, dependendo das condições de formação (o que vale para outras rochas).
Amostra de um gnaisse da minha coleção.
Amostra de gnaisse aqui da horta. Essa rocha é amplamente usada na construção civil, principalmente nas fundações.
          Ele também ( horizonte C) se encontra numa região mais baixa do barranco analisado. Lá foi possível observar fragmentos de um bandeamento gnáissico, contendo linhas brancas, as quais concluímos que se trata da caulinita (argila silicatada 1:1), produto do intemperismo (hidrolise) do feldspato constituinte do gnaisse. Abaxo a reação química da hidrolise do feldspato de potássio: 


$KAlSi_{3}O_{8} (K feldspato) + H^+ + OH^- \rightarrow H(AlSi_{3}O_{8}) + K^+ + OH^-$  [1]

     Os elementos do produto dessa reação química reagem com o $Al$  formando aluminossilicatos hidratados (argilominerais), como, por exemplo, a caulinita, como se segue na reação abaixo:


$2H(AlSi_{3}O_{8}) + 5H^+ + 5OH^- \rightarrow Al2Si_{2}O_{5}(OH)_{4} (caulinita) + 4H_{2}SiO_{3}$  [1]

    Foi também observada veios de quartzo rodeados pelos veios brancos da caulinita. O solo nesse horizonte se apresentou mais úmido e com uma cor resultante avermelhada roxeada, cor essa que concluímos ser causada pelo ferro da biotita oxidado, transformado em hematita (argila oxidica) misturado com caulinita (branca). Essa região chamamos de saprolito, local onde a rocha está apodrecendo. 
Horizonte C
        No horizonte B, coletado 6 metros acima na vertical (em relação ao horizonte C), o solo já não apresentava as características do bandeamento gnáissico e não era possível mais distinguir os constituintes a olho nu. O solo já se apresentava mais seco e com uma proporção alta de torrões compactados. A cor já tinha um tom mais alaranjado, possivelmente resultante da hidratação do ferro que estava presente na rocha mãe (reação abaixo), como dito, na forma do mineral biotita, resultando, agora, em goethita (outra argila oxidica).


$Fe_{2}O_{3} + H_{2}O \rightarrow 2FeO(OH)$  [1]
                                                            Hematita                  goethita
                                                           (vermelha)               (amarela)  
Horizonte B
       O horizonte A estava em uma localidade acima da recomendada para análise na aula e não foi analisado. Ao conjunto dos horizontes de solos aqui citados dá-se o nome de regolito. Por se tratar de um solo já bem intemperizado, com camadas de solo que podem variar até algumas dezenas de metros, trata-se de um solo antigo, chamado, tecnicamente, de Latossolo. 
        Um estudo mais detalhado desse solo para as Aulas de Campo da  disciplina SOL220 foi realizado pelo Departamento de Solos -UFV, afim de aprimorar a compreensão sobre a análise de um solo. Segue abaixo:
Análise do perfil do solo próximo a ESUV, o mesmo aqui citado.

Segunda parada: Solo diabásico aos arredores da CENTEV.


Eu e a rocha mãe desse solo, o diabásio, em Julho de 2015.
         Nessa região pode-se observar, logo na chegada (imagem acima), a rocha mãe geradora do solo naquela microrregião analisada, o diabásio. Essa rocha ígnea intrusiva ocorre principalmente na forma de diques ( intromissão de magma em forma alongada através das camadas da crosta terrestre [2]) ou em massa intrusivas (derramamentos). É uma rocha básica de cor escura e a composição mineralógica é de plagioclásios básicos (labradorita), piroxênios (principalmente a augita), magnetita e ilmenita.
Amostra de um diabásio da minha coleção.
           Foi possível observar uma tonalidade de cores mais contrastadas no barranco analisado. Coletamos quatro amostras em um raio vertical de 4 metros, podendo-se notar uma variação acentuada das cores do solo, variando do bege esbranquiçado, no sopé do barranco e, na direção vertical para cima, tendo tonalidades amareladas, alaranjadas e mais no topo, avermelhadas. Havia umas espécies de “figuras” (3ª imagem abaixo) em forma de círculo no barranco, na região mais baixa, aos quais acreditamos ser resquícios de uma atividade de intemperismo do diabásio, o qual, tanto nessas figura como na rocha analisada fora do barranco, apresentou uma geometria equivalente, tendo um formato, como citado pelo professor Márcio Francelino, o mesmo de uma casca de cebola soltando. A essa forma com que determinadas rochas se intemperizam, principalmente  aquelas com granulometria fina e uniforme, da-se o nome de esfoliação esferoidal.
Esfoliação esferoidal do diabásio. Essa amostrá não é da região analisada aqui.

Esfoliação na rocha Diabásio (região analisada).
Resquícios da rocha no barranco (região analisada).



Registro da esfoliação esferoidal do diabásio no perfil do barranco (região analisada). Horizonte C.

      Acreditamos que o horizonte C é o que estava mais próximo da rocha mãe, o com cor bege esbranquiçado, indo em direção ao horizonte B e A mais no topo do barranco, com o B apresentando-se mais vermelho-amarronzando. Trata-se, também, de um Latossolo. 
Horizonte C, mais no sopé do barranco (região analisada).

Horizonte B, no topo do barranco.
          Como o diabásio apresenta em sua constituição um mineral ferromagnético, a magnetita ($Fe_{3}O_{4}$), foi feito um teste magnético com o imã, com intuito de observar uma possível atração e compara-lo com aqueles solos coletados na ESUV (que também tem um mineral ferro magnético, a hematita ($Fe_{2}O_{3}$), mas que não apresenta atração magnética no solo forte quanto a da magnetita, o que contribuí para suas distinções). O solo do diabássio apresentou ser mais magnético, sendo mais atraído pelo imã do que o solo gnáissico, como pode-se observar na figura abaixo:
Atração Magnético dos solos.

          Tanto o MINERAL hematita quanto a magnetita são atraídas por imãs. Talvez o grau de oxidação do ferro, que na hematita é $Fe^{2+}$ e na magnetita $Fe^{3+}$, ou até mesmo a concentração de ferro em ambos os solos, que podem ser diferentes, interferem na atração, fazendo com que no solo gnáissico não se observar atração magnética.

 Em breve postarei experimentos sobre plasticidade, porosidade, estrutura e capilaridade em solos. 


[1] Geologia e Pedologia - Universidade Federal de Viçosa, Centro de Ciências Agrárias, Departamento de Solos.
[2] Dicionário Geológico - Geomorfológico - Antônio Teixeira Gerra- IBGE - 1969.

domingo, 9 de dezembro de 2018

Nota sobre conflitos no âmbito escolar


CONFLITOS NO ÂMBITO ESCOLAR

                                                            Wenderson Rodrigues Fialho da Silva - UFV, ‎9‎ de ‎maio‎ de ‎2017

Síntese da roda de conversa com a professora Rita de Cássia Souza - DPE - Universidade Federal de Viçosa


A professora Rita Souza (UFV) trouxe para nós, da turma de didática, alguns temas relacionados aos conflitos que ocorrem na escola e em sala de aula. No início a professora propôs um “aquecimento” para os alunos, pois ela julga ser importante um mínimo de dinamização do corpo humano em sala de aula, dinâmica esta que no sistema atual é praticamente vetada, pois o modo como a sala de aula é organizada e as atividades são apresentadas não possibilitam tais atividades. Logo após, foi levando vários relatos, por parte dos alunos, de casos de violência na escola, violência física e verbal que estes tiveram algum contato, de forma direta ou indireta (via amigos). Foi discutido o papel do professor e do corpo escolar na intervenção e possível prevenção de tais conflitos, que surgem das mais variadas formas, como a rebeldia, indisciplina, bullying, infrações, danos ao patrimônio, dente outros. Discutimos a respeito da indisciplina, fator de grande peso que leva a tais condutas indesejadas.

          Foi levantado algumas hipóteses referentes a como lidar com estes conflitos que são comuns ao ambiente de trabalho do professor. Mediante a pesquisas feitas pela professora Rita Souza, foi possível analisar alguns dados tragos por ela para que pudéssemos verificar o que costuma funcionar e o que não costuma funcionar quando se tem um conflito para se resolver. Contudo pode-se concluir que o melhor é sempre trabalhar de modo a prevenir estes conflitos, uma ideia simples mas que na prática pode ser difícil de se conceber, haja visto que tal conduta está diretamente ligada com o perfil do professor, especificamente.

sábado, 8 de dezembro de 2018

LANÇAMENTO DE PROJÉTEIS (RELATÓRIO)

ALCANCE DE UM PROJÉTIL EM FUNÇÃO DO ÂNGULO DE LANÇAMENTO

Wenderson Rodrigues Fialho da Silva - Viçosa,  ‎28‎ de ‎junho‎ de ‎2017


OBJETIVO

            Este experimento tem por objetivo analisar o movimento de um projétil abandonado em uma calha de lançamento com dada velocidade horizontal inicial.

CONTEXTO TEÓRICO

Um projétil é um objeto que é lançado no espaço. Feito isso, ele descreve uma trajetória que pode ser estudada usando algumas leis físicas do movimento. Quando usados em aplicações militares esses projéteis são os mísseis, munições de armas (balas), bombas, flechas e a área da mecânica que estuda a trajetória, a produção e o melhoramento desses equipamentos é a balística. Entretanto há objetos como uma bola de futebol quando arremessada no espaço, a água que sai de uma mangueira na horizontal e até a urina que sai do pênis em direção ao mictório têm características intrínsecas ao movimento de um projétil, características estas que estão diretamente ligadas ao movimento “parabólico” que ele descreve no espaço. Precisamente, a trajetória de um projétil é uma elipse, que se acentua quando se considera distâncias muito grandes, como por exemplo, a trajetória de um míssil intercontinental, mas para distâncias pequenas (algumas centenas de metros), essa elipse difere de uma parábola em alguns micrômetros, variação insignificante para efeitos práticos.

Um corpo quando lançado está sujeito a forças que agem sobre ele, como a força da gravidade (força peso), o empuxo do fluido em que se move, a força relacionada ao movimento de rotação da terra e, se o meio oferecer alguma resistência, a força de resistência do meio. Se conhecemos a posição e a velocidade de um corpo em dado estante, a trajetória que ele percorre pode ser determinada. Para o movimento de um projétil, sua trajetória tem duas direções, uma vertical e outra horizontal, que estão contidas no mesmo plano. Um fator muito importante para a análise desse comportamento é que os movimentos vertical e horizontal estão intimamente relacionados no tempo. O tempo que um projétil gasta para cair verticalmente de dada posição é igual ao tempo que ele gasta para cair da mesma altura sendo lançado horizontalmente.

              Figura (1) - Uma esfera solta (queda livre) e outra lançada horizontalmente

No nosso experimento as relações matemáticas que descrevem o fenômeno são expostas abaixo.

O alcance é a distância horizontal entre a saída do lançador e o local onde o projétil atinge, dado por $x=x_0+v_0 cos(θ)t$, onde $v_0$ é a velocidade inicial do projétil, $θ$ é o ângulo de inclinação do lançador acima da horizontal, e $t$ é a tempo do vôo. Veja a figura (2):

                 Figura (2) - lançamento em uma superfície nivelada

         Para o caso em que o projétil atinge um ponto que está no mesmo nível que a ponta do lançador, o tempo de vôo do projétil será duas vezes o tempo que leva para atingir o pico de sua trajetória. No pico, a velocidade vertical é zero, então:
$v_y=v_0 senθ-gt=0$      (1) 

         Sendo assim, pode-se extrair o valor do tempo t da equação (1), sendo:

$t=\frac{v_0 senθ}{g} $      (2)

         Como já mencionado, o tempo do projétil no ar será  $t_{no ar}=2t$,  portanto:

$t_{no ar}=\frac{2 (v_0 senθ)}{g} $     (3)

         O alcance do projétil, $R$, será dado por:

$R=x-x_0=v_{0_x } t_{no ar}= \frac{2v_0 cosθ (v_0 senθ)}{g}$    (4)

       Sendo $x$ o deslocamento horizontal num tempo $t$, $x_0$ a posição inicial e $v_{0_x }$ a componente horizontal da velocidade inicial do projétil.


         Usando a identidade trigonométrica, $2senθcosθ=sen2θ$, obtemos que:

$R=\frac{(v_0)^2 sen2θ}{g} $    (5)

         Isolando $v_0$ na equação (5), obtemos que:

$v_0=\sqrt{\frac{gR}{sen2θ}}$      (6)

     Para simplificar a análise de nosso experimento consideraremos que o projétil descreve um movimento no plano $xy$. O projétil escolhido foi uma esfera de plástico com de diâmetro $d=25,50±0,03 mm$ de modo a minimizar a influência do ar em sua trajetória, o que nos levou a desconsidera-la. O valor da aceleração da gravidade local  $g$ (Viçosa – MG) é igual a $9,78 \frac{m}{s^2} $.

MATERIAIS UTILIZADOS



METODOLOGIA

Medidas cuidadosas foram realizadas a fim de se obter o alcance máximo de um projétil (esfera de plástico) em função de 12 diferentes ângulos de lançamento.
Primeiramente, fixamos o lançador em uma das extremidades de uma mesa resistente. Em seguida apontamos o lançador para uma direção em cima da mesa, de tal modo a possibilitar que o projétil atinja a superfície desta.
Ajustamos o lançador com um ângulo de inclinação de 10 graus e colocamos a esfera nele e, por meio de um lançamento teste, determinamos onde a esfera atingia a mesa. Nessa posição colocamos uma caixa de papelão de modo a nivelar a superfície onde a esfera atingiu com a ponta do lançador, ($x_0$). Em cima da caixa fixamos o papel sulfite branco e acima dele colocamos o papel carbono, usado para marcar, por meio do impacto da esfera sobre ele, a posição que ela alcançou, ($x$).
Após serem ajustados os equipamentos, realizamos 5 disparos para cada ângulo proposto na tabela (1). Para cada disparo foi registrado o alcance medido, com a fita de medição, a distância alcançada pelo projétil, que tinha origem na ponta do lançador até o local do impacto da esfera acima da caixa.
Vale ressaltar que essas calibrações das posições referentes ao alcance do projétil foram feitas para cada um dos doze ângulos medidos e, para cada ângulo analisado, foram realizados cinco lançamentos, obtendo assim o alcance médio do projétil, visando com isso minimizar os erros inerentes ao processo experimental.
Para analisar a velocidade por meio do sensor photogate foi adotado a seguinte montagem:


Acoplamos o sensor (na ponta do lançador) para mediar o tempo de obstrução da esfera quando passa por ele. Esse tempo foi obtido, de quatro lançamentos e registrado na tabela (2) a seguir.

RESULTADOS E DISCUSSÃO

Com os resultados obtidos completamos a seguinte tabela (1) abaixo:

As velocidades de lançamento foram obtidas utilizando a equação (6) e os valores dos alcances médios para cada ângulo de lançamento.
Os valores da tabela (1) foram transformados no gráfico (1), utilizando um software chamado Origin, para melhor visualização da dependência dos valores. O gráfico se assemelha a uma senoide, assim como o esperado, por tratar-se de uma função seno.



Como a relação entre $R$ e $θ$ não é linear, vamos usar uma mudança de variável através de um processo de linearização.
$φ=sin⁡2θ $



O coeficiente de correlação linear, calculado pela calculadora HP 50G foi de $r=0,97$. Os coeficientes foram; angular = 1.61m e linear = 0.17m.

$R=1.61 sen⁡2θ+0.17$ 

Outra analise que fizemos foi sobre a velocidade inicial do projétil.

$ \frac{v_0^2}{g}=1.61 ⇒ v_0 =\sqrt{1.61*9,78}=3.97m/s$

Usando a média dos valores das velocidades iniciais presentes na tabela (1), obtivemos: $v_{inicial médio}=4,11m/s$. Como não se sabe qual dos dois valores está correto, toma-se a média dos valores como referência e calcula-se a diferença relativa desses valores em relação a essa média.

$|V|=\frac{v_{inicial médio}+v_0}{2}=\frac{4,11+3,97}{2}=4,04m/s$

Esses dois valores apresentam um desvio relativo γ de:

$γ=\frac{v_{inicial médio}-v_0}{|V|} =\frac{4,11-3,97}{4,04}=0,034=3,4%$

Essas duas estimativas da velocidade inicial revelam uma imprecisão de $3,4$%.


Uma terceira medida foi realizado com o uso do photogate que indicou o tempo de obstrução da esfera de plástico no sensor, representado na tabela (2) abaixo:

De pose do valor do $t_médio $ e do valor do diâmetro da esfera $D=25,50±0,03 mm$, calculamos o valor da velocidade $v_{photogate}$ que a esfera é lançada.

$limite superior da velocidade =\frac{0,02553}{0,0052}=4,91m/s$.
$limite inferior da velocidade =\frac{0,02547}{0,0054}=4,72m/s$.

O valor estimado da velocidade $v_{photogate} $ será:

$v_{photogate}=4,82±0,10 m/s$.

Calculamos o erro percentual da velocidade obtida por regressão linear em relação a velocidade obtida pelo uso do photogate:


CONCLUSÃO 
O valor obtido pelo coeficiente de correlação mostra que os dados experimentais aderem muito bem a previsão teórica, ou seja, o alcance é proporcional a $sen(2θ)$. O coeficiente linear diferente de zero indica a existência de erros experimentais.
Através do relacionamento analítico encontramos o coeficiente angular, pelo qual nós encontramos um valor para velocidade que ao ser comparado com o valor medido utilizando o photogate mostrou um erro de $17,63$%.
O coeficiente linear indicou que teríamos um alcance de 17cm para um lançamento totalmente horizontal, isso pode ser resultado da alta velocidade de lançamento acrescido da dificuldade em conseguir uma altura no ponto de queda idêntica à de lançamento (nivelamento).
Por fim, a relação analítica nos mostra que o alcance varia dentro de um intervalo específico que depende do ângulo de lançamento, sendo o ângulo máximo encontrado quando $sin⁡2θ=1 ⇒ 2θ=90° ⇒ θ=45°$, voltando a diminuir a medida que aumentamos o ângulo. Isso significa que o gráfico de alcance por $sin⁡2θ$ é limitado no intervalo $0≤sen⁡2θ≤1$, já que o alcance deve ser positivo.


Fontes:
Figura (1)
Figura (2)
Figura (3)
https://azeheb.com.br/media/catalog/product/cache/1/small_image/600x450/9df78eab33525d08d6e5fb8d27136e95/6/2/62001027_lancador-de-projeteis.jpg

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