Demonstração sobre a variação da pressão com a profundidade em fluidos

Demonstração sobre a variação da pressão com a profundidade em fluidos

                                                                                      Wenderson Rodrigues - Viçosa, 13 de novembro de 2018.

OBJETIVO

Verificar a dependência da pressão com a profundidade nos fluidos, aqui, líquido, utilizando um manômetro de tubo aberto simples.

CONTEXTO TEÓRICO 
           Desde os estudos de Simon Stevin, 1548-1620, engenheiro, físico e matemático belga, pode-se sistematizar em uma expressão matemática a dependência da diferença de pressão entre dois pontos de um fluido com a altura da coluna do fluido entre esses pontos. A expressão, dada como um princípio da hidrostática, é a equação (1) seguinte:

$∆P=ρ.g.∆h$       (1)

onde $∆P$ é a variação de pressão entre os pontos considerados, separados por uma diferença de profundidade $∆h$, em um fluido com densidade $ρ$ , imerso em um campo gravitacional $g$. Observando o arranjo como o da figura (1) abaixo, veremos que:

Figura 1 – Ilustração do arranjo experimental. Parte 1: manômetro com ambas as extremidades abertas para o ar (ponto a e ponto b nivelados); parte 2: manômetro com um das extremidades inseridas em um líquido (ponto a e ponto b agora desnivelados).

com base da parte 2 da figura (1) acima, podemos obter as seguintes expressões para os fluidos com densidade $ρ$  e $ρ'$ em equilíbrio hidrostático. 

$P_d-P_c=ρg∆h_cd$          (2)

$P_a-P_b=ρ'g∆h_ab$         (3)

      Desconsiderando a pressão gerada pela coluna de ar dentro do manômetro, entre os pontos a e c, causada por um possível desnivelamento desses, temos que $P_a=P_c$  , e como $ρ=ρ'$ (no caso particular do nosso experimento) e $P_b=P_{atm}$  , assim, somando as duas equações acima (2) e (3), obtemos:

$P_d-P_b=P_{manométrica}=ρg(∆h_{cd}+∆h_{ab})$          (4)

Com base na equação (4) acima e utilizando um aparato como o da figura 1, iremos demonstrar que a pressão em um dado ponto de um fluido é proporcional a coluna desse fluido acima de tal ponto. 

EXPERIMENTOS

MATERIAIS

• Um manômetro de tubo aberto.
• Um béquer (ou um frasco transparente) com profundidade entre 12 e 20 cm.
• Régua.
• Água destilada.
• Uma haste de metal com garra para sustentação. Observe a figura 2 abaixo.

 Observação: O manômetro foi confeccionado pelo professor utilizando uma base de MDF, duas pipetas com os bicos cortados, mangueira e quatro fitas de alumínio confeccionadas com latas de conserva. Caso opte em utilizar água da torneira ou outro líquido apropriado, consulte sua densidade na internet ou em um livro. A imagem de uma régua no centro do aparelho foi confeccionada no computador e pode ser encontrada já pronta no site: https://meu-cosmos.blogspot.com/2018/11/regua.html. Visitem.

METODOLOGIA

• Ajuste a haste de metal com a garra e prenda-a na lateral do manômetro, como mostrado na figura (2) acima.
• Coloque água destilada no manômetro até a marca central (zero) fixada nele.
• Com auxílio da régua, coloque cinco centímetros de água no Becker, de modo a formar uma coluna $h_d=5cm $ de água.
• Utilizando a ponta da mangueira do manômetro, mergulhe-a sobre o líquido no béquer, até o fundo do recipiente.
• Correlacionando com a figura (1), parte 2, acima, meça as alturas $∆h_{cd}$ e $∆h_{ab}$ , respectivamente, a coluna que aparece dentro da mangueira e a coluna gerada pelo desnivelamento nas pipetas. Utilize a régua na primeira altura e a própria marcação do aparelho para a segunda altura.
• Anote estes valores.
• Repita os dois procedimentos anteriores para $h_d=10cm $.

QUESTIONÁRIO

1.   Calcule, com auxilio da equação (4), a pressão para $h_d=5cm $ e $h_d=10cm $. Considere $ρ=997 kg⁄m^3$  e  $g=9,78 m⁄s^2 .$.

2.  O que se pode concluir referente a coluna de líquido $h_d=5cm $ e $10cm $  acima do nosso detector, com a pressão no mesmo?

3.  Com base no valor de pressão achado para $h_d=10cm $ , estime, utilizando proporção, qual seria a pressão a 10m de profundidade em um lago, próximo do local do experimento.