“A ideia de de Bloglie
foi difundida em toda a Europa, inclusive por Einstein, o qual reconheceu sua
importância e validade, e por sua vez chamou a atenção de outros físicos para
ela” (EISBERG, R.;
RESNICK, R. 1988, pg. 87).
Dado a necessidade natural de
verificação experimental da teoria de de Bloglie, George Paget Thomson, na
Escócia, e Clinton Joseph Davisson e Lester Halbert Germer nos EUA, realizaram
experimentos afim de detectar o comprimento de onda associados a elétrons de
energia conhecidas, da ordem de 50 eV, que incidiam na superfície de um
cristal, com um arranjo como o da figura (1) abaixo:
Figura 2 - Representação da difração de elétrons. O fixe de
elétrons incide sobre o cristal e é difratado de tal forma a formar um angulo
2θ com o feixe incidente e registra na tela círculos concêntricos com diâmetro
D.
Da geometria do experimento, conhecendo-se L e D, temos que:
$$\tan2θ=\frac{D/2}{L}=\frac{D}{2L} \qquad(3)$$
Para ângulos θ pequenos, podemos fazer a seguinte aproximação:
$$2sinθ=\frac{D/2}{L}=\frac{D}{2L}\qquad(4)$$
Substituindo (4) em (2) conclui-se que:
$$\lambda=\frac{Dd}{2nL}\qquad(5)$$
sendo $\lambda$o comprimento de onda do elétron.
Outra ferramenta teórica que utilizaremos será a desenvolvida por de Bloglie, como se segue:
$$E_{e}=\frac{m_{e}v_{e}^2}{2}=\frac{p^2}{2m_{e}}=eV → p=\sqrt{2m_{e}eV}\qquad(6)$$
Substituindo (4) na equação (1), concluímos que:
$$λ_{broglie}=\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2m_{e}eV}}\qquad(7)$$
onde $V$ é a DDP aplicada para acelerar os elétrons.
MATERIAIS
E MÉTODOS
Foi
realizado um experimento afim de determinar o comprimento de de Bloglie
associados a elétrons ejetados de um filamento aquecido de tungstênio. Para
isso foram utilizados os seguintes materiais: um tubo de difração de elétrons S Modelo:
U18571 3B SCIENTIFIC (figura 2), com fonte de elétrons, placa para a difração
de grafite e tela fluorescente embutidas.
Observação:
vale lembrar que a ampola é um tubo evacuado, pois, caso contrário, a gás
dentro do tubo absorveria e dispersaria os elétrons, mascarando o efeito da
difração; uma fonte de alta tensão variável até 5 kV,
com alimentação para o filamento de 6,3V embutida; um paquímetro; fios para conexão.
Segue na figura (2) abaixo um esquema interno da
ampola e das ligações elétricas utilizadas no experimento, bem como a imagem da
montagem real.
Figura 3 - esquema interno da ampola (esquerda), suas ligações elétricas com a fonte (centro) e foto real da montagem usada (direita). C5 e G7 são os eletrodos ligadas a fonte de alta tensão, que irão acelerar os elétrons em direção a grade de grafite. F4 e F3 foram ligados na tenção de 6,3V, para o aquecimento do filamento.
METODOLOGIA
Inicialmente conectamos a fonte à ampola. Com a fonte
desligada, liga-se o terminal C5 da ampola ao negativo e o terminal G7 ao
positivo da fonte de alta tensão 5 kV CC.
Os terminais F4 e F3 foram ligados a tenção de 6,3V AC para o aquecimento do
filamento. Aterram-se os terminais negativos da fonte de alta tensão, como
mostrado na figura (3) acima.
Liga-se a tensão de aquecimento e esperara-se
aproximadamente um minuto até que o aquecimento estabilize. Aplica-se a tensão
de 4 kV, girando o potenciômetro da fonte até que se observe no voltímetro o
valor desejado. Aparecerá anéis concêntricos na tela fluorescente da ampola, os
quais foram feitas as medidas do diâmetro com auxílio de paquímetro.
Mantendo fixa a tensão de
aceleração dos elétrons em 4 kV, foi medido o diâmetro
dos dois
anéis visíveis na tela, como os da figura (4) abaixo:
Figura 4 - imagens da tela do tubo de difração em
funcionamento. A esquerda a imagem real observada no momento do experimento e a
direita essa mesma imagem, porém editada com filtros no programa Phtofiltre 7.
RESULTADOS
E DISCURSSÃO
Com os valores do anel menor $D_{1}$ e do maior $D_{2}$, foi construído a seguinte tabela:
Tabela 1 - valores obtidos dos diâmetros
dos anéis de difração.
Os valore de $L=0,135m$ e da distância entre planos da rede cristalina do grafite, $d_{1}=0,213 nm$ e $d_{2}=0,123 nm$ associados aos anéis formados são dados pela fabricante da ampola. Cada um dos anéis corresponde a uma reflexão de Bragg nos átomos de um nível da rede do grafite. Com auxílio da equação (4) de Bragg, pode-se determinar o comprimento de onda dos elétrons.
Com os dados da tabela (1) foi feito a média dos valores de $\lambda_{1}$ e $\lambda_{2}$, cujos resultados foram:
$\bar\lambda_{1}=0,196 Å$ e $\bar\lambda_{2}=0,191 Å$
Cujo valor médio $\bar\lambda$ é:
$$\bar\lambda=0,193 Å$$
Utilizando a equação (7) de de Bloglie:
$$\lambda_{broglie}=\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2m_{e}eV}}=0,194 Å$$
Calculando
o erro relativo percentual do valor do comprimento de onda do elétron pelo
modelo quântico de de Bloglie em relação modelo clássico de Bragg:
$$E(\%)= |\frac{λ_{broglie}-\barλ}{\barλ}|100\% \quad⇾\quad E(\%)= |\frac{0,194- 0,193}{0,193}|100\%=0,5\%$$
O
valor de n = 1 considerado na equação de Bragg se justifica pelo fato de não
ser possível observar os padrões de difração de ordens superiores,
principalmente devido as próprias limitações do aparelho, que estão
relacionadas com o material da grade de difração (grafite) e com o diâmetro da
tela de observação.
Por
meio de uma análise de uma das imagens obtidas da tela fluorescente no momento
do experimento, pode-se construir um
gráfico da intensidade da cor (que relacionado com a quantidade de elétrons
nessa região) em função da distância ao centro da imagem, o qual podemos
interpretar, de forma qualitativa, como sendo a distribuição dos
máximo de intensidade dos elétrons difratados em função da
distância ao máximo central.
Figura 5 - Padrão de difração de elétrons
observado no experimento. Os picos de difração são simétricos em relação ao
feixe de elétrons central e a intensidade desses picos decai com a distância ao
centro. Como ocorre no caso da luz.
Pode-se fazer uma correção relativística afim de verificar possível influência da velocidade atingida pelos elétrons no experimento, que terão um acréscimo de energia que é função da diferença de potencial utilizada para acelerara-los que, no experimento, foi V = 4kV. Verifica-se que, da energia cinética relativística $E'_{e}$:
$$E'_{e}=eV=m_{e}c^2(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1)\qquad→\qquad v=c\sqrt{\frac{m_{e}c^2}{eV+m_{e}}-1}=2,64x10^7\frac{m}{s}$$
Sendo $c = 3x10^8 m/s$ velocidade da luz, $m_{e} = 9,11x10^{-31}kg$ a massa do elétron, $e = 1,60x10^{-19} C$ a carga e $v$ a velocidade e $E'_{e}$ a energia relativística dos elétrons.
Sabendo o valor de v pode-se determinar o novo $λ_{bloglie}'$ relativístico:
$$λ_{bloglie}'=\frac{h}{p'}=\frac{\frac{h}{m_{e}v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=h\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{m_{e}v}=0,274Å$$
Portanto, fazendo a correção relativística para a velocidade do elétron e o comprimento de onda, chega-se a um valor a 29% maior para $λ_{bloglie}'$ em relação a $λ_{broglie}$, o que indica a necessidade da correção relativística para o cálculo de $λ$.
Assumindo que o $λ_{broglie}≅λ\equiv0,193 Å=0,0193 nm$ encontrado com a equação de Bragg, pode-se determinar a constante de Planck pela equação (6), como se segue:
$$h ≅ \barλ\sqrt{2m_{e}eV}≅6,59x10^{-34}J.s$$
CONCLUSÃO
GERAL
Este
experimento teve como objetivo analisar o fenômeno da difração de elétrons, verificando
o seu comportamento ondulatório, bem como determinar o comprimento de onda de
elétrons de energia
, comparando o valor
achado pelo modelo clássico (equação de Bragg) com modelo quântico (equação de
de Bloglie).
O
erro obtido do modelo quântico em relação ao clássico foi de 0,5%, um erro
pequeno, o que indica uma semelhança na descrição do fenômeno da difração entre
os modelos. Senso assim, fica evidente que o modelo proposto por de Bloglie
está de acordo com o previsto pelo modelo clássico de Bragg. A
causa dos erros encontrados é, principalmente, na imprecisão das medidas
relacionadas aos anéis formados na tela. Utilizando o valor de
pode-se encontrar um valor da constante de
Planck
com o mesmo erro de 0,5%, como era de se
esperar.
Pode-se
observar com base na análise da imagem da tela da ampola que o padrão de
distribuição dos máximos de intensidade dos elétrons difratados
está
de acordo com o previsto pelas equações de interferência e difração clássica,
diminuindo amplitude dos máximos à medida que se afasta do máximo central.
REFERÊNCIA
BIBLIOGRAFICAS
ACOSTA,
V.; COWAN, C. L.; GRAHAM, B. J. Curso de
física moderna. Harla: 1975
EISBERG,
R.; RESNICK, R. Física Quântica.
Campus: 1988
GOLDEMBERG,
José. Física geral e experimental.
Companhia nacional: 1973.
