Modelagem matemática para predição de casos da Covid-19 no Brasil com e sem a adesão da população à Quarentena.

Mathematical modeling for the prediction of Covid-19 cases in Brazil with and without population adhesion to Quarantine.

Wenderson Rodrigues F. da Silva - Viçosa, 13 de abril de 2020.

OBJETIVO         

         Estudar um modelo matemático de uso epidemiológico para propagação de doenças infecciosas denominado SIR, afim de reforçar a importância da quarentena, bem como prever o número de casos de Covid-19 no Brasil para os próximos 10 dias, por meio do ajuste de uma curva aos dados de pessoas infectadas no país e pelo modelo SIR.

INTRODUÇÃO           

      Modelos matemáticos são primordiais para se estudar a evolução de sistemas. As ciências da natureza, como a  Física, Química, Meteorologia e Biologia, assim como todos os ramos de estudos que se deseje modelar, ou seja, desenvolver um conjunto de regras que ordene a forma como a dinâmica de um sistema evolui no tempo e/ou no espaço, se fundamenta no ferramental matemático para tal. E a teoria que serve de base para se investigar comportamentos de casos onde se observa a mudança de algo no tempo é a descrito pelas Equações Diferenciais, sejam elas ordinárias (EDOs) quando o sistema evoluí apenas temporalmente, ou as Equação Diferencias Parciais (EDPs) quando se observa evolução no tempo e no espaço.

      A epidemiologia é a ciência que lida com a propagação de doenças infecciosas e faz uso das Equações Diferencias para conhecer e prever o estágio de evolução da disseminação de um dado agente infeccioso, afim de possibilitar o controle da doença bem como nortear a respeito das melhores tomadas de decisões para conter seu avanço. Aqui abordaremos um modelo para propagação de doenças infecciosas chamado SIR que faz uso de um sistema de EDOs para modelagem dos casos, para prever a evolução de casos confirmados da Covid-19 no Brasil, bem como prever qual será esse número dentro de 10 dias.

      Um modelo epidêmico simples e bem conhecido no meio dos epidemiologistas é o chamado Modelo SIR (susceptible, infectious, recovered), o qual classifica os integrantes de uma população como indivíduo susceptível (S) ao contágio com patógeno, indivíduo infectado (I) pelo patógeno e aqueles recuperados (R) com êxito.

Figura 1- Fluxo epidêmico adotado no modelo SIR para propagação de uma doença infecciosa. Um indivíduo S interage com um indivíduo I e entra no grupo dos infectados. Por fim, o indivíduo do grupo I passa para o grupo R.

Tal modelo é descrito pelo sistema de Equações Diferencias Ordinárias abaixo.²

$$ \frac{dS}{dt}=-\frac{{\beta}SI}{N} \qquad (1)$$

$$ \frac{dI}{dt}=\frac{{\beta}SI}{N}-{\gamma}I \qquad (2)$$

$$ \frac{dR}{dt}={\gamma}I \qquad (3)$$

Nas expressões (1), (2) e (3), $dS/dt$, $dI/dt$ e $dR/dt$ indicam como (com que velocidade) o número de pessoas susceptíveis, infectadas e recuperadas estão mudando no tempo, respectivamente. O sinal de negativo (-) na equação (1) indica que essa quantidade de indivíduos susceptíveis diminuí ao longo do tempo. Portanto, o primeiro termo da equação (2) representa o crescimento do número de infectados. O segundo termo dessa mesma equação está relacionado com o número de indivíduos recuperados, por isso tem um peso negativo sobre os indivíduos infectados. Já a equação (3) descreve o aumento de indivíduos recuperados.

No caso mais simples do modelo SIR (ignorando a demografia da população, nascimentos, mortes e migrações e assumimos uma mistura homogênea), temos apenas as transições S → I e I → R. Tal modelo assume uma taxa de remoção do patógeno ou recuperação do indivíduo infectado $\gamma$, que depende, dentre outras coisas, de como o sistema de saúde está comportando a demanda de pacientes. Para o modelo SIR, usa-se $\frac{1}{{\gamma}}$, que determina o período médio de infecção (ou tempo de incubação do vírus, que no caso do Sars-Cov-2 é algo entorno de 12 dias)³, que é o período médio durante o qual um indivíduo infectado pode transmitir o patógeno. Tal valor é estimado a partir de dados epidemiológicos.

Outro fator que o modelo leva em consideração é a taxa de contato efetiva entre indivíduos infectados (I) com susceptíveis (S), denominada $\beta$. Tal fator está correlacionado com o número de indivíduos (I) e (S) interagindo uns com os outros em um dado intervalor de tempo (por dia, por exemplo). $N$ é o número de indivíduos de uma dada população (N = S + I + R). É fácil perceber que, se essa taxa aumenta, o número de infectados também aumenta. Medidas como a QUARENTENA são extremamente importantes para contenção de epidemias e estão relacionadas com o fator $\beta$ do modelo SIR. Verifica-se na simulação abaixo que, modificando o valor desse fator, muda-se toda a dinâmica da epidemia e, consequentemente, os cenários nos quais teríamos que lidar com a doença.

RESULTADOS E DISCUSSÕES

Com base nos dados fornecidos pelo ministério da saúde¹, até o dia 12/04/2020, o número total de casos da doença no país era de 20.727 infectados, e a evolução desses casos se deu como mostrado no gráfico da Figura (2) abaixo.

Figura 2 - Evolução temporal do número de casos da COVID-19 no Brasil. Os pontos representam os dados do Ministério da Saúde. A curva em azul é um ajuste com uma função SLogistica (sigmoide) para predição de casos futuros.
O ajuste gerou a seguinte curva regida pela Equação (4) abaixo, cujo coeficiente de correlação r² =  0,998.
$$Nº{\quad}de{\quad}infectados=\frac{37583,25}{1+ e^{-0,17(Dia-45,74)}}\qquad(4)$$

Com base na equação (4), pode-se fazer previsões a respeito do número de casos da doença. A tabela (1) abaixo mostra a previsão para os próximos 10 dias com o modelo e com os dados reais a partir da data de hoje, 13/04/2020.¹

Tabela 1 - Dados do Ministério da Saúde sobre os infectados e previsão teórica para o modelo matemático (Equação (4)) e o modelo SIR, em função dos dias desde do primeiro contágio. Os valores em vermelho são os divulgados pelo governo após essa publicação.

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Atualização 12/05/2020.

Estudo publicado pela Universidade de São Paulo (USP) mostra que o numero de casos pode ser até 15 vezes maior do que aquele divulgado pelo Ministério da Saúde.

Fonte: https://oglobo.globo.com/sociedade/coronavirus/coronavirus-numero-de-infectados-quinze-vezes-maior-aponta-estudo-24369657. 

Nesse site da USP, pode-se acompanhar o número de casos nacionais e estaduais: https://ciis.fmrp.usp.br/covid19-subnotificacao/

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     O modelo SIR representado pelas EDOs (equações (1), (2) e (3)) não pode ser resolvido explicitamente, ou seja, não podemos obter uma expressão analítica exata para a dinâmica de S e I no tempo, portanto, o modelo deve ser resolvido numericamente. Preparou-se uma simulação computacional utilizando a linguagem de programação Python, cujo código será disponibilizado no final desse artigo.

       Fixando os valores de $\frac{1}{{\gamma}}=$ 12 dias e N = 210 milhões de habitantes, verifica-se como a taxa de contato efetiva entre indivíduos infectados (I) com susceptíveis (S) $\beta$ influenciará no número de casos de infectados e no tempo no qual esses irão ocorrer. No gráfico da Figura (2) abaixo pode-se verificar que para $\beta=$1 (que ocorreria caso o país não estivesse aderido a quarentena) teríamos um pico da doença em menos que 30 dias, atingindo mais que metade da população, o que seria catastrófico para qualquer sistema de saúde mundial e acarretaria em milhões de mortes.

Figura 3 - Cenário do contágio da Covid-19 no Brasil sem adesão à quarentena.

Já o gráfico da Figura (4) trata-se do caso em que estamos vivenciando atualmente, no estado de quarentena. O valor de $\beta=$0,290 foi ajustado aos dados do Ministério da Saúde do Brasil e estão de acordo com o número de infectados, que no dia 12/04/2020, 48 dias após o início da pandemia no Brasil, era de 22.169 infectados. Os valores para os próximos 10 dias estão apresentados na tabela (1) acima. O aumento de casos de pessoas infectadas é distribuído num intervalo de tempo maior, quanto menor for o valor de $\beta$, o que torna possível uma organização para enfrentar a pandemia. Observa-se também que, se a quarentena for mantida, o pico dos números de casos será por volta de 100 dias do início da transmissão comunitária (25/02/2020) e ocorrerá no início do mês de junho totalizando um número de casos de superior a 74 milhões de pessoas. Tal modelo, comparado com os dados do Ministério da saúde, parece estar superestimando esse número, entretanto, há cientistas que confirmam essa previsão⁴, alegando que o número de casos confirmados no Brasil é muito maior que o divulgado pelo ministério, principalmente pela falta de testes massivos na população não estarem ocorrendo.

Figura 4 – Cenário atual do contágio da Covid-19 no Brasil com adesão à quarentena.

     Existem outros modelos matemático mais abrangente, que leva em consideração mais fatores a partir dos quais pode-se obter mais precisão nas estimativas. O modelo SEIR é um deles, considerando o número de indivíduos expostos a doença denominado. Tal modelo pode ser simulado online na plataforma da USP "Epcalc", pelo link: https://bit.ly/3aaPMF1. Modelo SIR também pode ser simulado online, nesse link: https://bit.ly/3cwgutB. Todavia, não se consegue salvar os dados da simulação em ambos os sites citados acima. 

           CONCLUSÃO 

Com base nos dados e nos modelos (regressão e SIR) apresentados, pode-se concluir que a matemática é uma importante aliada para descrição de dinâmicas de sistemas como aqueles encontrados na propagação de doenças na sociedade. Com base em modelos matemáticos os agentes públicos podem nortear suas decisões a respeito de como conter o avanço da doença. No Brasil, tais previsões reforçam a necessidade das políticas de quarentena, como ressaltado pelo Ministro da Saúde no programa Fantástico da Rede Globo, exibido no dia 12/04/2020. Com base no ajuste dos dados do Ministério pode-se prever o número de casos no país nos próximos dias. Com o modelo SIR pode-se verificar a importância da quarentena, sem a qual qualquer país do mundo exposto ao vírus colapsaria seu sistema de saúde em poucos dias.

REFERÊNCIAS

1.      Painel Coronavírus - Ministério da Saúde. Acessado: 13/04/2020. Disponível em: https://covid.saude.gov.br/.

2.      M. J. Keeling and P. Rohani, Modeling Infectious Diseases in Humans and Animals, Princeton (2007).

3.      Saude de A a Z. Novo Coronavírus - Ministério da Saúde. Acessado: 13/04/2020. Disponível em: https://www.saude.gov.br/o-ministro/746-saude-de-a-a-z/46490-novo-coronavirus-o-que-e-causas-sintomas-tratamento-e-prevencao-3.

4.      Covid-19 Brasil - estimativa de população infectada.  Acessado: 15/04/2020. Disponível em: https://ciis.fmrp.usp.br/covid19/estimativa-de-populacao-infectada/.

CÓDIGO PYTHON DA SIMULAÇÃO DO MODELO SIR

"""

Created on Fri Apr 10 20:27:17 2020

@author: Wenderson Rodrigues F. da Silva

"""

import numpy as np

from scipy.integrate import odeint

import matplotlib.pyplot as plt

import csv

import pandas as pd

# População total, N.

N = 210000000

time = 70

# Número inicial de indivíduos infectados e recuperados, I0 e R0.

I0, R0 = 1, 0

# Todos os outros, S0, são suscetíveis à infecção inicialmente.

S0 = N - I0 - R0

# Taxa de contato, beta e taxa de recuperação média, gama, (em 1 / dias).

beta, gamma = 0.290, 1./12

# intervalo de pontos no tempo (em dias).

t = np.linspace(0, time, time)

# As equações diferenciais do modelo SIR.

def deriv(y, t, N, beta, gamma):

    S, I, R = y

    dSdt = -beta * S * I / N

    dIdt = beta * S * I / N - gamma * I

    dRdt = gamma * I

    return dSdt, dIdt, dRdt

# Condições iniciais.

y0 = S0, I0, R0

# Integração das equações do modelo SIR ao longo da série de tempo, t.

ret = odeint(deriv, y0, t, args=(N, beta, gamma))

S, I, R = ret.T

###################################################################

t = t.astype(int)

S = S.astype(int)

I = I.astype(int)

R = R.astype(int)

#criando o dataframe

df = pd.DataFrame({'tempo (dias)': t, 'Susceptveis': S, 'Infectados': I, 'Recuperados': R})

# salvando a tabela

df.to_csv('test.csv', sep=',')

###################################################################

# Plotagem os dados em três curvas separadas para S (t), I (t) e R (t).

fig = plt.figure(facecolor='w')

ax = fig.add_subplot(111,axisbelow=True)

ax.plot(t, S/N, 'b', alpha=0.6, lw=2, label='Susceptveis')

ax.plot(t, I/N, 'r', alpha=0.6, lw=2, label='Infectados')

ax.plot(t, R/N, 'g', alpha=0.6, lw=2, label='Recuperado')

ax.set_xlabel('tempo (dias)')

ax.set_ylabel('Fração da população em cada classe')

ax.set_ylim(0,0.000009)

ax.yaxis.set_tick_params(length=0)

ax.xaxis.set_tick_params(length=0)

ax.grid(b=True, which='major', c='w', lw=2, ls='-')

legend = ax.legend()

legend.get_frame().set_alpha(0.5)

for spine in ('top', 'right', 'bottom', 'left'):

    ax.spines[spine].set_visible(False)

plt.savefig('teste.png',dpi=300, format='png')

plt.show()

Análise experimental da Difração de Elétrons

Experimental analysis of Electron Diffraction

Wenderson Rodrigues F. da Silva - UFV, junho de 2019.

OBJETIVO

Este experimento tem por objetivo estudar o fenômeno da difração de elétrons em um cristal de grafite e, por meio de medidas diretas dos padrões de difração, determinar o comprimento de onda do elétron, utilizando o modelo quântico (equação de de Bloglie) e compara-lo com o modelo clássico (equação de Bragg).

INTRODUÇÃO

A difração é um fenômeno da natureza que está associado a propriedade de uma onda, seja mecânica, eletromagnética ou ondas de matéria, de contornar obstáculos postos defronte à frente de onda incidente, e que possua dimensões da ordem de grandeza do comprimento de onda envolvido. Para a radiação eletromagnética na faixa do visível, um objeto como um fio de cabelo já é um obstáculo capaz difratar a luz. Já para os Raio X, fendas (que se comportam com obstáculos para o fenômeno da difração) devem possuir dimensões de décimos de nanômetros, ou seja, angristons ($10^{-10}m$), que são as distâncias típicas entre átomos de muitos cristais e materiais. Portanto, até a década de vinte do século passado, tratava-se de um fenômeno relacionado às ondas.

Com o surgimento das teorias quânticas, em 1924, Louis de Broglie, físico francês, de posse dos conhecimentos já estabelecido à época sobre o efeito fotoelétrico, a emissão de corpo negro e o espalhamento Compton, fenômenos que associam caráter de partícula às ondas eletromagnéticas, notou que partículas como elétrons, prótons e nêutrons, poderiam assumir um caráter ondulatório, em acordo com o dualismo partícula-onda proposto por Albert Einstein e Max Planck.

De Broglie sugeriu associar a uma partícula de massa $m$ e velocidade $\upsilon$, portando momento linear $p=m\upsilon$, um comprimento de onda, dado por:
$$ \lambda_{Broglie}=\frac{h}{p}=\frac{h}{m\upsilon}                 \qquad (1)$$ onde $h$ é a constante de Planck.

“A ideia de de Bloglie foi difundida em toda a Europa, inclusive por Einstein, o qual reconheceu sua importância e validade, e por sua vez chamou a atenção de outros físicos para ela” (EISBERG, R.; RESNICK, R. 1988, pg. 87).

Dado a necessidade natural de verificação experimental da teoria de de Bloglie, George Paget Thomson, na Escócia, e Clinton Joseph Davisson e Lester Halbert Germer nos EUA, realizaram experimentos afim de detectar o comprimento de onda associados a elétrons de energia conhecidas, da ordem de 50 eV, que incidiam na superfície de um cristal, com um arranjo como o da figura (1) abaixo:

Figura 2 - Representação da difração de elétrons. O fixe de elétrons incide sobre o cristal e é difratado de tal forma a formar um angulo 2θ com o feixe incidente e registra na tela círculos concêntricos com diâmetro D.

Da geometria do experimento, conhecendo-se L e D, temos que:

$$\tan⁡2θ=\frac{D/2}{L}=\frac{D}{2L} \qquad(3)$$

Para ângulos θ pequenos, podemos fazer a seguinte aproximação:

$$2sin⁡θ=\frac{D/2}{L}=\frac{D}{2L}\qquad(4)$$

Substituindo (4) em (2) conclui-se que:

$$\lambda=\frac{Dd}{2nL}\qquad(5)$$

sendo $\lambda$o comprimento de onda do elétron.

Outra ferramenta teórica que utilizaremos será a desenvolvida por de Bloglie, como se segue:

$$E_{e}=\frac{m_{e}v_{e}^2}{2}=\frac{p^2}{2m_{e}}=eV  →  p=\sqrt{2m_{e}eV}\qquad(6)$$

Substituindo (4) na equação (1), concluímos que:

$$λ_{broglie}=\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2m_{e}eV}}\qquad(7)$$

onde $V$ é a DDP aplicada para acelerar os elétrons.

MATERIAIS E MÉTODOS

Foi realizado um experimento afim de determinar o comprimento de de Bloglie associados a elétrons ejetados de um filamento aquecido de tungstênio. Para isso foram utilizados os seguintes materiais: um tubo de difração de elétrons S Modelo: U18571 3B SCIENTIFIC (figura 2), com fonte de elétrons, placa para a difração de grafite e tela fluorescente embutidas. 

Observação: vale lembrar que a ampola é um tubo evacuado, pois, caso contrário, a gás dentro do tubo absorveria e dispersaria os elétrons, mascarando o efeito da difração; uma fonte de alta tensão variável até 5 kV, com alimentação para o filamento de 6,3V embutida; um paquímetro; fios para conexão.

Segue na figura (2) abaixo um esquema interno da ampola e das ligações elétricas utilizadas no experimento, bem como a imagem da montagem real.

Figura 3 - esquema interno da ampola (esquerda), suas ligações elétricas com a fonte (centro) e foto real da montagem usada (direita). C5 e G7 são os eletrodos ligadas a fonte de alta tensão, que irão acelerar os elétrons em direção a grade de grafite. F4 e F3 foram ligados na tenção de 6,3V, para o aquecimento do filamento.

METODOLOGIA

                Inicialmente conectamos a fonte à ampola. Com a fonte desligada, liga-se o terminal C5 da ampola ao negativo e o terminal G7 ao positivo da fonte de alta tensão 5 kV CC. Os terminais F4 e F3 foram ligados a tenção de 6,3V AC para o aquecimento do filamento. Aterram-se os terminais negativos da fonte de alta tensão, como mostrado na figura (3) acima.

                Liga-se a tensão de aquecimento e esperara-se aproximadamente um minuto até que o aquecimento estabilize. Aplica-se a tensão de 4 kV, girando o potenciômetro da fonte até que se observe no voltímetro o valor desejado. Aparecerá anéis concêntricos na tela fluorescente da ampola, os quais foram feitas as medidas do diâmetro com auxílio de paquímetro.

                Mantendo fixa a tensão de aceleração dos elétrons em 4 kV, foi medido o diâmetro  dos dois anéis visíveis na tela, como os da figura (4) abaixo:

Figura 4 - imagens da tela do tubo de difração em funcionamento. A esquerda a imagem real observada no momento do experimento e a direita essa mesma imagem, porém editada com filtros no programa Phtofiltre 7.

RESULTADOS E DISCURSSÃO

Com os valores do anel menor $D_{1}$ e do maior $D_{2}$, foi construído a seguinte tabela:

Tabela 1 - valores obtidos dos diâmetros dos anéis de difração.

Os valore de $L=0,135m$ e da distância entre planos da rede cristalina do grafite, $d_{1}=0,213 nm$ e $d_{2}=0,123 nm$ associados aos anéis formados são dados pela fabricante da ampola. Cada um dos anéis corresponde a uma reflexão de Bragg nos átomos de um nível da rede do grafite. Com auxílio da equação (4) de Bragg, pode-se determinar o comprimento de onda dos elétrons.

Com os dados da tabela (1) foi feito a média dos valores de $\lambda_{1}$ e $\lambda_{2}$, cujos resultados foram:

$\bar\lambda_{1}=0,196 Å$    e   $\bar\lambda_{2}=0,191 Å$

Cujo valor médio $\bar\lambda$ é:

$$\bar\lambda=0,193 Å$$

Utilizando a equação (7) de de Bloglie:

$$\lambda_{broglie}=\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2m_{e}eV}}=0,194 Å$$

Calculando o erro relativo percentual do valor do comprimento de onda do elétron pelo modelo quântico de de Bloglie em relação modelo clássico de Bragg:

$$E(\%)= |\frac{λ_{broglie}-\barλ}{\barλ}|100\% \quad⇾\quad E(\%)= |\frac{0,194- 0,193}{0,193}|100\%=0,5\%$$

O valor de n = 1 considerado na equação de Bragg se justifica pelo fato de não ser possível observar os padrões de difração de ordens superiores, principalmente devido as próprias limitações do aparelho, que estão relacionadas com o material da grade de difração (grafite) e com o diâmetro da tela de observação.

Por meio de uma análise de uma das imagens obtidas da tela fluorescente no momento do experimento,  pode-se construir um gráfico da intensidade da cor (que relacionado com a quantidade de elétrons nessa região) em função da distância ao centro da imagem, o qual podemos interpretar, de forma qualitativa, como sendo a distribuição dos máximo de intensidade dos elétrons difratados em função da distância ao máximo central.

Figura 5 - Padrão de difração de elétrons observado no experimento. Os picos de difração são simétricos em relação ao feixe de elétrons central e a intensidade desses picos decai com a distância ao centro. Como ocorre no caso da luz.

Pode-se fazer uma correção relativística afim de verificar possível influência da velocidade atingida pelos elétrons no experimento, que terão um acréscimo de energia que é função da diferença de potencial utilizada para acelerara-los que, no experimento, foi V = 4kV. Verifica-se que, da energia cinética relativística $E'_{e}$:

$$E'_{e}=eV=m_{e}c^2(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1)\qquad→\qquad v=c\sqrt{\frac{m_{e}c^2}{eV+m_{e}}-1}=2,64x10^7\frac{m}{s}$$

Sendo $c = 3x10^8  m/s$ velocidade da luz, $m_{e} = 9,11x10^{-31}kg$ a massa do elétron, $e = 1,60x10^{-19} C$ a carga e $v$ a velocidade e $E'_{e}$ a energia relativística dos elétrons.

Sabendo o valor de v pode-se determinar o novo $λ_{bloglie}'$ relativístico:

$$λ_{bloglie}'=\frac{h}{p'}=\frac{\frac{h}{m_{e}v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=h\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{m_{e}v}=0,274Å$$

Portanto, fazendo a correção relativística para a velocidade do elétron e o comprimento de onda, chega-se a um valor a 29% maior para $λ_{bloglie}'$ em relação a $λ_{broglie}$, o que indica a necessidade da correção relativística para o cálculo de $λ$.

Assumindo que o $λ_{broglie}≅λ\equiv0,193 Å=0,0193 nm$ encontrado com a equação de Bragg, pode-se determinar a constante de Planck pela equação (6), como se segue:

$$h ≅ \barλ\sqrt{2m_{e}eV}≅6,59x10^{-34}J.s$$

CONCLUSÃO GERAL

Este experimento teve como objetivo analisar o fenômeno da difração de elétrons, verificando o seu comportamento ondulatório, bem como determinar o comprimento de onda de elétrons de energia , comparando o valor achado pelo modelo clássico (equação de Bragg) com modelo quântico (equação de de Bloglie).

O erro obtido do modelo quântico em relação ao clássico foi de 0,5%, um erro pequeno, o que indica uma semelhança na descrição do fenômeno da difração entre os modelos. Senso assim, fica evidente que o modelo proposto por de Bloglie está de acordo com o previsto pelo modelo clássico de Bragg. A causa dos erros encontrados é, principalmente, na imprecisão das medidas relacionadas aos anéis formados na tela.  Utilizando o valor de  pode-se encontrar um valor da constante de Planck  com o mesmo erro de 0,5%, como era de se esperar.

Pode-se observar com base na análise da imagem da tela da ampola que o padrão de distribuição dos máximos de intensidade dos elétrons difratados está de acordo com o previsto pelas equações de interferência e difração clássica, diminuindo amplitude dos máximos à medida que se afasta do máximo central.

REFERÊNCIA BIBLIOGRAFICAS

ACOSTA, V.; COWAN, C. L.; GRAHAM, B. J. Curso de física moderna. Harla: 1975

EISBERG, R.; RESNICK, R. Física Quântica. Campus: 1988

GOLDEMBERG, José. Física geral e experimental. Companhia nacional: 1973.