Análise experimental da Difração de Elétrons

Experimental analysis of Electron Diffraction

Wenderson Rodrigues F. da Silva - UFV, junho de 2019.

OBJETIVO

Este experimento tem por objetivo estudar o fenômeno da difração de elétrons em um cristal de grafite e, por meio de medidas diretas dos padrões de difração, determinar o comprimento de onda do elétron, utilizando o modelo quântico (equação de de Bloglie) e compara-lo com o modelo clássico (equação de Bragg).

INTRODUÇÃO

A difração é um fenômeno da natureza que está associado a propriedade de uma onda, seja mecânica, eletromagnética ou ondas de matéria, de contornar obstáculos postos defronte à frente de onda incidente, e que possua dimensões da ordem de grandeza do comprimento de onda envolvido. Para a radiação eletromagnética na faixa do visível, um objeto como um fio de cabelo já é um obstáculo capaz difratar a luz. Já para os Raio X, fendas (que se comportam com obstáculos para o fenômeno da difração) devem possuir dimensões de décimos de nanômetros, ou seja, angristons ($10^{-10}m$), que são as distâncias típicas entre átomos de muitos cristais e materiais. Portanto, até a década de vinte do século passado, tratava-se de um fenômeno relacionado às ondas.

Com o surgimento das teorias quânticas, em 1924, Louis de Broglie, físico francês, de posse dos conhecimentos já estabelecido à época sobre o efeito fotoelétrico, a emissão de corpo negro e o espalhamento Compton, fenômenos que associam caráter de partícula às ondas eletromagnéticas, notou que partículas como elétrons, prótons e nêutrons, poderiam assumir um caráter ondulatório, em acordo com o dualismo partícula-onda proposto por Albert Einstein e Max Planck.

De Broglie sugeriu associar a uma partícula de massa $m$ e velocidade $\upsilon$, portando momento linear $p=m\upsilon$, um comprimento de onda, dado por:
$$ \lambda_{Broglie}=\frac{h}{p}=\frac{h}{m\upsilon}                 \qquad (1)$$ onde $h$ é a constante de Planck.

“A ideia de de Bloglie foi difundida em toda a Europa, inclusive por Einstein, o qual reconheceu sua importância e validade, e por sua vez chamou a atenção de outros físicos para ela” (EISBERG, R.; RESNICK, R. 1988, pg. 87).

Dado a necessidade natural de verificação experimental da teoria de de Bloglie, George Paget Thomson, na Escócia, e Clinton Joseph Davisson e Lester Halbert Germer nos EUA, realizaram experimentos afim de detectar o comprimento de onda associados a elétrons de energia conhecidas, da ordem de 50 eV, que incidiam na superfície de um cristal, com um arranjo como o da figura (1) abaixo:

Figura 2 - Representação da difração de elétrons. O fixe de elétrons incide sobre o cristal e é difratado de tal forma a formar um angulo 2θ com o feixe incidente e registra na tela círculos concêntricos com diâmetro D.

Da geometria do experimento, conhecendo-se L e D, temos que:

$$\tan⁡2θ=\frac{D/2}{L}=\frac{D}{2L} \qquad(3)$$

Para ângulos θ pequenos, podemos fazer a seguinte aproximação:

$$2sin⁡θ=\frac{D/2}{L}=\frac{D}{2L}\qquad(4)$$

Substituindo (4) em (2) conclui-se que:

$$\lambda=\frac{Dd}{2nL}\qquad(5)$$

sendo $\lambda$o comprimento de onda do elétron.

Outra ferramenta teórica que utilizaremos será a desenvolvida por de Bloglie, como se segue:

$$E_{e}=\frac{m_{e}v_{e}^2}{2}=\frac{p^2}{2m_{e}}=eV  →  p=\sqrt{2m_{e}eV}\qquad(6)$$

Substituindo (4) na equação (1), concluímos que:

$$λ_{broglie}=\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2m_{e}eV}}\qquad(7)$$

onde $V$ é a DDP aplicada para acelerar os elétrons.

MATERIAIS E MÉTODOS

Foi realizado um experimento afim de determinar o comprimento de de Bloglie associados a elétrons ejetados de um filamento aquecido de tungstênio. Para isso foram utilizados os seguintes materiais: um tubo de difração de elétrons S Modelo: U18571 3B SCIENTIFIC (figura 2), com fonte de elétrons, placa para a difração de grafite e tela fluorescente embutidas. 

Observação: vale lembrar que a ampola é um tubo evacuado, pois, caso contrário, a gás dentro do tubo absorveria e dispersaria os elétrons, mascarando o efeito da difração; uma fonte de alta tensão variável até 5 kV, com alimentação para o filamento de 6,3V embutida; um paquímetro; fios para conexão.

Segue na figura (2) abaixo um esquema interno da ampola e das ligações elétricas utilizadas no experimento, bem como a imagem da montagem real.

Figura 3 - esquema interno da ampola (esquerda), suas ligações elétricas com a fonte (centro) e foto real da montagem usada (direita). C5 e G7 são os eletrodos ligadas a fonte de alta tensão, que irão acelerar os elétrons em direção a grade de grafite. F4 e F3 foram ligados na tenção de 6,3V, para o aquecimento do filamento.

METODOLOGIA

                Inicialmente conectamos a fonte à ampola. Com a fonte desligada, liga-se o terminal C5 da ampola ao negativo e o terminal G7 ao positivo da fonte de alta tensão 5 kV CC. Os terminais F4 e F3 foram ligados a tenção de 6,3V AC para o aquecimento do filamento. Aterram-se os terminais negativos da fonte de alta tensão, como mostrado na figura (3) acima.

                Liga-se a tensão de aquecimento e esperara-se aproximadamente um minuto até que o aquecimento estabilize. Aplica-se a tensão de 4 kV, girando o potenciômetro da fonte até que se observe no voltímetro o valor desejado. Aparecerá anéis concêntricos na tela fluorescente da ampola, os quais foram feitas as medidas do diâmetro com auxílio de paquímetro.

                Mantendo fixa a tensão de aceleração dos elétrons em 4 kV, foi medido o diâmetro  dos dois anéis visíveis na tela, como os da figura (4) abaixo:

Figura 4 - imagens da tela do tubo de difração em funcionamento. A esquerda a imagem real observada no momento do experimento e a direita essa mesma imagem, porém editada com filtros no programa Phtofiltre 7.

RESULTADOS E DISCURSSÃO

Com os valores do anel menor $D_{1}$ e do maior $D_{2}$, foi construído a seguinte tabela:

Tabela 1 - valores obtidos dos diâmetros dos anéis de difração.

Os valore de $L=0,135m$ e da distância entre planos da rede cristalina do grafite, $d_{1}=0,213 nm$ e $d_{2}=0,123 nm$ associados aos anéis formados são dados pela fabricante da ampola. Cada um dos anéis corresponde a uma reflexão de Bragg nos átomos de um nível da rede do grafite. Com auxílio da equação (4) de Bragg, pode-se determinar o comprimento de onda dos elétrons.

Com os dados da tabela (1) foi feito a média dos valores de $\lambda_{1}$ e $\lambda_{2}$, cujos resultados foram:

$\bar\lambda_{1}=0,196 Å$    e   $\bar\lambda_{2}=0,191 Å$

Cujo valor médio $\bar\lambda$ é:

$$\bar\lambda=0,193 Å$$

Utilizando a equação (7) de de Bloglie:

$$\lambda_{broglie}=\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2m_{e}eV}}=0,194 Å$$

Calculando o erro relativo percentual do valor do comprimento de onda do elétron pelo modelo quântico de de Bloglie em relação modelo clássico de Bragg:

$$E(\%)= |\frac{λ_{broglie}-\barλ}{\barλ}|100\% \quad⇾\quad E(\%)= |\frac{0,194- 0,193}{0,193}|100\%=0,5\%$$

O valor de n = 1 considerado na equação de Bragg se justifica pelo fato de não ser possível observar os padrões de difração de ordens superiores, principalmente devido as próprias limitações do aparelho, que estão relacionadas com o material da grade de difração (grafite) e com o diâmetro da tela de observação.

Por meio de uma análise de uma das imagens obtidas da tela fluorescente no momento do experimento,  pode-se construir um gráfico da intensidade da cor (que relacionado com a quantidade de elétrons nessa região) em função da distância ao centro da imagem, o qual podemos interpretar, de forma qualitativa, como sendo a distribuição dos máximo de intensidade dos elétrons difratados em função da distância ao máximo central.

Figura 5 - Padrão de difração de elétrons observado no experimento. Os picos de difração são simétricos em relação ao feixe de elétrons central e a intensidade desses picos decai com a distância ao centro. Como ocorre no caso da luz.

Pode-se fazer uma correção relativística afim de verificar possível influência da velocidade atingida pelos elétrons no experimento, que terão um acréscimo de energia que é função da diferença de potencial utilizada para acelerara-los que, no experimento, foi V = 4kV. Verifica-se que, da energia cinética relativística $E'_{e}$:

$$E'_{e}=eV=m_{e}c^2(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1)\qquad→\qquad v=c\sqrt{\frac{m_{e}c^2}{eV+m_{e}}-1}=2,64x10^7\frac{m}{s}$$

Sendo $c = 3x10^8  m/s$ velocidade da luz, $m_{e} = 9,11x10^{-31}kg$ a massa do elétron, $e = 1,60x10^{-19} C$ a carga e $v$ a velocidade e $E'_{e}$ a energia relativística dos elétrons.

Sabendo o valor de v pode-se determinar o novo $λ_{bloglie}'$ relativístico:

$$λ_{bloglie}'=\frac{h}{p'}=\frac{\frac{h}{m_{e}v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=h\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{m_{e}v}=0,274Å$$

Portanto, fazendo a correção relativística para a velocidade do elétron e o comprimento de onda, chega-se a um valor a 29% maior para $λ_{bloglie}'$ em relação a $λ_{broglie}$, o que indica a necessidade da correção relativística para o cálculo de $λ$.

Assumindo que o $λ_{broglie}≅λ\equiv0,193 Å=0,0193 nm$ encontrado com a equação de Bragg, pode-se determinar a constante de Planck pela equação (6), como se segue:

$$h ≅ \barλ\sqrt{2m_{e}eV}≅6,59x10^{-34}J.s$$

CONCLUSÃO GERAL

Este experimento teve como objetivo analisar o fenômeno da difração de elétrons, verificando o seu comportamento ondulatório, bem como determinar o comprimento de onda de elétrons de energia , comparando o valor achado pelo modelo clássico (equação de Bragg) com modelo quântico (equação de de Bloglie).

O erro obtido do modelo quântico em relação ao clássico foi de 0,5%, um erro pequeno, o que indica uma semelhança na descrição do fenômeno da difração entre os modelos. Senso assim, fica evidente que o modelo proposto por de Bloglie está de acordo com o previsto pelo modelo clássico de Bragg. A causa dos erros encontrados é, principalmente, na imprecisão das medidas relacionadas aos anéis formados na tela.  Utilizando o valor de  pode-se encontrar um valor da constante de Planck  com o mesmo erro de 0,5%, como era de se esperar.

Pode-se observar com base na análise da imagem da tela da ampola que o padrão de distribuição dos máximos de intensidade dos elétrons difratados está de acordo com o previsto pelas equações de interferência e difração clássica, diminuindo amplitude dos máximos à medida que se afasta do máximo central.

REFERÊNCIA BIBLIOGRAFICAS

ACOSTA, V.; COWAN, C. L.; GRAHAM, B. J. Curso de física moderna. Harla: 1975

EISBERG, R.; RESNICK, R. Física Quântica. Campus: 1988

GOLDEMBERG, José. Física geral e experimental. Companhia nacional: 1973.