Desafios para a valorização de comunidades e povos tradicionais no Brasil

Redação que desenvolvi no primeiro dia da prova do ENEM 2022, sobre o tema: "Desafios para a valorização de comunidades e povos tradicionais no Brasil".

Wenderson Rodrigues F. da Silva - Viçosa, 13 de novembro de 2022.

O processo de ocupação do território brasileiro se deu de forma desordenada e hierarquizada, onde os mais abastados economicamente ditavam as diretrizes da ocupação. Foi assim no descobrimento do Brasil, com a expulsão e massacre dos povos indígenas, e ainda é até hoje, quando um derramamento de rejeitos de minério inviabiliza a utilização de um rio pelos povos tradicionais que dele fazem uso. Portanto, a valorização dessas comunidades originarias via políticas públicas de reparo e manutenção é fundamental para que possamos garantir uma sociedade justa pra todos.

As comunidades ribeirinhas, os pescadores no litoral, bem como as comunidades quilombolas no Cerrado e os povos originários, dentre outros, mostraram ter total capacidade de viver da terra, com compromisso intimo de preservação ambiental. Tais comunidades, quando incentivadas e orientadas por um órgão competente, poderão contribuir para um desenvolvimento sustentável do planeta, portanto, são fundamentais para frear o aquecimento global.

Os povos tradicionais, além de contribuírem ambientalmente, contribuem com as expressões culturais mais ricas para o país, preservando tradições seculares como os ritos nos terreiros de umbanda e os quilombos preservando tradições afro-brasileiras, dentre muitas outras. Mesmo assim, tais organizações sofrem com agressões e preconceitos diariamente.

A forma de contornar tais problemas se dará através da política. O poder executivo a nível nacional pode criar um “Ministério dos povos tradicionais”, por meio do qual suas secretarias poderão organizar ações socioeconômicas que visem conhecer a atender as demandas de tais comunidades. O censo do IBGE de 2022 irá contribuir para isso. Desse modo, com políticas públicas de promoção do bem estar social, paralelas a ações socioeconômicas e educacionais, se estará incentivando a valorização da cultura nacional e a preservação ambiental, bem como a dignidade desses povos.

 

Estudo computacional da dependência dos parâmetros termodinâmicos em sistemas de bósons

Wenderson Rodrigues Fialho da Silva - Viçosa, julho de 2022.

    Os bósons são partículas cujo spin pode assumir somente valores inteiros, os quais não obedecem ao princípio de exclusão de Pauli, portanto, pode-se encontrar mais de um bóson no mesmo estado quântico. O potencial químico dos bósons apresentam valores negativos ou nulo, sendo esse ultimo relacionado ao condensado de Bose-Einstein. Esse trabalho teve como objetivo estudar por meio de gráficos as dependência dos parâmetros termodinâmicos de bósons, como a fugacidade $z$, energia interna U e capacidade térmica $C_{v}$, ambos em função de $T/T_{c}$, onde $T$ é a temperatura e $T_{c}$ a temperatura crítica do sistema. 

    Desenvolveu-se um programa de computador em linguagem Python que gera os dados referentes as curvas $z$, $U$ e $C_{v}$, ambas em função de $T/T_{c}$. As equações (1, 2 e 3) foram utilizadas para obtenção dessas curvas. A demostração da equação (3) é apresentada no apêndice A.

$$ \frac{T}{T_{c}} = \left ( \frac{\zeta(\frac{3}{2})}{Li_{3/2}(z)} \right)\qquad(1)$$

$$U = \frac{3}{2}NK_{B}T\frac{Li_{5/2}(z)}{Li_{3/2}(z)}\qquad(2)$$

$$ C_{v} = \begin{cases}\frac{15}{4}\frac{\zeta(\frac{5}{2})}{\zeta(\frac{3}{2})}NK_{B}\left ( \frac{T}{T_{c}} \right)^{3/2} se\qquad T < T_{c}\qquad\qquad\qquad\qquad(3) \\\frac{3}{2}NK_{B}\left ( \frac{5}{2}\frac{Li_{5/2}(z)}{Li_{3/2}(z)} - \frac{3}{2}\frac{Li_{3/2}(z)}{Li_{1/2}(z)} \right)\qquad se\qquad T > T_{c}\end{cases}$$

    A equação (1) e (2) são apresentadas no capítulo 30 na referencia [1]. Com auxílio do programa Origin pro 8.5, fez-se os gráficos com os dados gerados. Desenvolveu-se uma rotina que realiza-se os cálculos das equações das equações (1), (2) e (3) e salva-se tais dados em arquivos $.txt$, os quais foram utilizados para fazer os gráficos. O código de programação em linguagem Python é apresentado no apêndice B.

    O resultado com as curvas obtidas é apresentado nos gráficos das Figuras (1) a seguir:

Figura 1. (A) fugacidade, (B) energia interna e em (C) capacidade térmica de bósons em função da temperatura sobre a temperatura crítica.

    A energia interna está normalizada pelo número de partículas e pela energia térmica. A capacidade térmica pelo número de partículas e pela constante de Boltzmann. Para obtenção das curvas para o potencial químico de bósons e férmions, utilizou-se as equações para $v_{B}$ e  $v_{F}$ abaixo, obtidas da referência [2]. O código de programação em Python utilizado é apresentado no apêndice C.

    No gráfico (A) da Figura 1, como descrito na referencia [1] e em sala, a fugacidade para $T \leq T_{c}$ é igual a um. Para $T > T_{c}$ ela cai continuamente. Em (B), para a energia interna, a linha pontilhada representa a previsão dada pelo teorema da equipartição de energia. Para altas temperaturas, ou seja, $T >> T_{c}$ as curvas tendem a se encontrar, onde o caráter quântico do sistema não tem grandes contribuições, e a abordagem clássica já descreve o problema. Em (C), abaixo da temperatura crítica $T_{c}$, o comportamento quântico relacionado a capacidade térmica tem que ser levando em consideração para a descrição do sistema. Já para $T >> T_{c}$, o sistema se comporta como previsto pelo teorema da equipartição de energia.

    Para obtenção das curvas dos potenciais químicos para bósons e para férmions foi utilizado as equações da referência [2].

    Para bósons, foi utilizado a equação (4) abaixo, sendo $v_{B}=\frac{u_{B}}{T_{0}}$.

$$ v_{B} = \begin{cases}0, \qquad T\leq 1 \\\sum_{k=1}^{4} a_{k}(t-1)^k, \qquad 1 \leq T \leq 3.68 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(4) \\T\ln(\zeta(3/2)+T^{-3/2}) + T\ln(1+\zeta(3/2)(2T)^{-3/2}), \qquad T \ge 3.68\end{cases}$$

    Para férmions, foi utilizado a equação (5) abaixo, sendo $v_{F}=\frac{u_{F}}{T_{F}}$

$$ v_{F} = \begin{cases}1+\sum_{k=1}^{4} a_{k}T^k, \qquad 0 \leq T \leq 1.36 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(5) \\T\ln \left ( \frac{2}{3\Gamma(3/2)} \right ) -T^{-3/2}) + T\ln\left ( 1-\frac{2}{3\Gamma(3/2)}(2T)^{-3/2} \right ), \qquad T \ge 1.36\end{cases}$$

    Os coeficientes dos 4 primeiros temos da soma  do cálculo do potencial químico são apresentados na Tabela 1 abaixo.

Tabela 1. Valores dos coeficiente utilizado para o calculo dos potenciais quimicos para bósons e fémions [2].

    Fazendo $\mu_{B}=v_{B}T_{0}$, pode-se as curvas do potencial químico para bósons $\mu_{B}$ e para $\mu_{F}=v_{F}T_{0}$, obteve-se as curvas para férmios $\mu_{F}$. Os gráficos obtidos são apresentados na Figura (2) abaixo.

Figura 2. Potenciais químicos para bósons (A) e férmions (B) em função da temperatura.

    Para $T \leq T_{0}$, o gráfico (A) para bósons da Figura 2 nos mostra que o potencial químico é zero. Para valores de $T > T_{0}$, o potencial químico assume valores negativos. Já para os férmions, o potencial químico apresentado no gráfico (B) assume valores positivos para $T < T_{F}$, e negativos para $T > T_{F}$.

    Afim de poder-se comprar os valores de $U$ para $T < T_{c}$ com a curva obtidas pela equação (2), sendo ela uma aproximação da equação (6), fez-se o gráfico da Figura (3) a seguir, onde, na equação (6), $n_{k} = \frac{1}{e^{\frac{T_{c}}{K_{B}T}(E_{k}-\mu)}-1}$, $E_{k} = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}$ e $\mu = 0$ e fazendo as constantes igual a um. O código de programação em Python utilizado é apresentado no apêndice D.

$$ U = \sum_{k}n_{k}E_{k}\qquad(6) $$

Figura 3. Curvas para Energia interna $U$ obtidas da equação (1), a qual representa a aproximação do somatório da equação (6) para a integral, bem como a curva da para o somatório da equação (6).

    Nota-se que a uma semelhança entre as curvas obtidas para energia interna $U$ para $T < T_{c}$, entretanto, quando $T$ se aproxima de $T_{c}$, observa-se que o valor previsto pelo somatório começa a adquirir valores menores em relação a integral. Para valores de $T < T_{c}$, os bósons tendem a se acumularem no nível de energia mais baixo, formando o condensado de Bose-Einstein. A aproximação feita do somatório para integral não é boa quando energia térmica $(K_{B}T)$ é da ordem da energia característica do sistema, e caráter quântico associado deve ser levado em consideração. Quando $(K_{B}T)$ é  muito maior que a energia característica do sistema quântico, podemos fazer a aproximação e tratar o sistema como um contínuo de energia, de modo que o uso da integral não trará grandes desvios. 

Apêndice A - Dedução da equação (3) utilizada para obtenção da curva da capacidade térmica $C_{v}$

Para $T < T_{c}$:

$$U=\frac{3}{2}NK_{B}T_{c}\frac{\zeta(\frac{5}{2})}{\zeta(\frac{3}{2})} \left ( \frac{T}{T_{c}} \right )^\frac{5}{2}, \qquad(7) $$

logo:

$$C_{v}=\left ( \frac{\partial U}{\partial T} \right )_{v}=\frac{15}{4}NK_{B}\frac{\zeta(\frac{5}{2})}{\zeta(\frac{3}{2})}T^\frac{3}{2}\qquad(8)$$

Para $T > T_{c}$, usando a equação 30.51 e $ \lambda _{T}^3=KT^\frac{3}{2} $ podemos escrever $U$ como:

$$U=\frac{3}{2}K_{B} \left ( 2S+1 \right )KVT^\frac{5}{2}Li_{5/2}(z),\qquad(9) $$

logo:

$$C_{v}=\left ( \frac{\partial U}{\partial T} \right )_{v}=\frac{15}{4}K_{B} \left ( 2S+1 \right ) KVT^\frac{5}{2}Li_{5/2}(z) + \frac{3}{2}K_{B} \left ( 2S+1 \right ) KVT^\frac{5}{2}\frac{dLi_{5/2}(z)}{dz}.\qquad(10)$$

Derivando a equação C.32 do apendice C da referencia [1], temos que $ \frac{dLi_{n}}{dz}=\frac{L_{i_{n-1}}}{z}\frac{dz}{dT}$. Portanto,

$$C_{v}=\frac{15}{4}K_{B}\left (2S+1 \right )KVT^\frac{3}{2}Li_{5/2}(z) + \frac{3}{2}K_{B}\left (2S+1 \right )KVT^\frac{5}{2}Li_{3/2}(z)\frac{1}{z}\frac{dz}{dT}.\qquad(11)$$

Como: $Li_{5/2}(z) \propto T^{-3/2}$,

$$\frac{d}{dT}(Li_{3/2}(z)) = Li_{1/2}(z)\frac{dz}{dT} = -\frac{3}{2}\beta T^{-5/2}.\qquad(12)$$

Portanto:

$$Li_{1/2}(z)\frac{dz}{dT} = -\frac{3}{2T}Li_{3/2}(z) \longrightarrow \frac{dz}{dT} = -\frac{3z}{2T}\frac{Li_{3/2}(z)}{Li_{1/2}(z)}.\qquad(13)$$

Substituindo em $C_{v}$:

$$C_{v} = \left(\dfrac{15}{4}K_{B}(2S+1)KVT^{3/2}Li_{5/2}(z) + \frac{3}{2}K_{B}(2S+1)KVT^{3/2}\left(\dfrac{-3}{2T} \right)\right)\frac{Li^{2}_{5/2}(z)}{Li_{1/2}(z)}$$

$$C_{v} = \frac{3}{2}K_{B}(2S+1)KVT^{3/2}\Bigg(Li_{5/2}(z)\frac{5}{2} - \frac{3}{2}\frac{Li^{2}_{5/2}(z)}{Li_{1/2}(z)}\Bigg).\qquad(14)$$

E como:

$$Li_{3/2}(z) = \frac{N}{V(2S+1)KT^{3/2}} = \frac{N\lambda^{3}_{T}}{V(2S+1)} \longrightarrow \frac{N}{Li_{3/2}(z)} = \frac{3}{2}K_{B}(2S+1)KT^{3/2}V,\qquad(15) $$

finalmente:

$$C_{v} = N\Bigg(\frac{5}{2}\frac{Li_{5/2}(z)}{Li_{3/2}(z)} - \frac{3}{2}\frac{Li_{3/2}(z)}{Li_{1/2}(z)}\Bigg).\qquad(16)$$

Apêndice B - Código para obtenção das curvas de $z$, $U$ e $C_{v}$

\begin{lstlisting}[language=Python]

# -*- coding: utf-8 -*-

"""

Created on Sun Jul 17 11:24:21 2022

@author: Wenderson R. F. da Silva

"""

from mpmath import*

import numpy  as np

pontos = 1000

n1 = 5/2

n2 = 3/2

n3 = 1/2

z = 0.0000001

delta = 0.001

Q = T = U = Cv = 0

deltaT = 0.002612

with open('C_termica.txt','w') as C_termica:

    with open('E_interna.txt','w') as E_interna:  

        with open('fugacidade.txt','w') as fugacidade:

            for j in range(0, pontos):

                Li1 = Li2 = Li3 = 0

                for i in range(1, 10000):

                    Li1 = Li1 + z**i/i**n1

                    Li2 = Li2 + z**i/i**n2

                    Li3 = Li3 + z**i/i**n3

                if T < 1: # T<Tc                               

                    U = 0.77*T**(5/2)                   

                    cv = 1.92*T**(3/2)

                    fugacidade.write('%.4f %7.5f\n' % (T, 1))

                    E_interna.write('%.4f %7.5f\n' % (T, U))

                    C_termica.write('%.4f %7.5f\n' % (T, cv))

                else:

                    Q = (2.61/Li2)**(2/3)   # Q = T/Tc para zeta(3/2)= 2.612

                    U = (3/2)*Q*(Li1/Li2)                       

                    cv = 3.75*(Li1/Li2) - (2.25*(Li2/Li3))    

                    fugacidade.write('%.4f %7.5f\n' % (Q, z))

                    E_interna.write('%.4f %7.5f\n' % (Q, U))

                    C_termica.write('%.4f %7.5f\n' % (Q, cv))

                z = z + delta

                T = T + deltaT

        fugacidade.close()

    E_interna.close()

C_termica.close()

\end{lstlisting}

Apêndice C - Código para obtenção das curvas de $\mu_{bóson}$ e $\mu_{férmion}$

\begin{lstlisting}[language=Python]

import numpy  as np

from numpy import log as ln

from numpy import pi

pontos = 1001

T = 0.0001

deltaT = 0.004

with open('vb.txt','w') as vb: 

    for j in range(1, pontos):

        

        if T <= 1:

            vb.write('%.4f %7.5f\n' % (T, 0))            

        elif T > 1 and T <= 3.68:

            b = - 0.016*(T-1) - 1.064*(T-1)**2 + 0.299*(T-1)**3 - 0.043*(T-1)**4          

            vb.write('%.4f %7.5f\n' % (T, b))   

        else:         

            b = T*ln(2.612*T**(-3/2)) + T*ln(1 - 2.612*(2*T)**(-3/2))         

            vb.write('%.4f %7.5f\n' % (T, b))          

        T = T + deltaT

vb.close()

T=0

G = 0.88622692

with open('vf.txt','w') as vf: 

    for j in range(1, pontos):     

        if T <= 1.36:         

            f = 1 + 0.016*T - 0.957*T**2 - 0.293*T**3 + 0.209*T**4            

            vf.write('%.4f %7.5f\n' % (T, f))   

        else:           

            f = T*ln(2/(3*G)*T**(-3/2)) + T*ln(1 + 2/(3*G)*(2*T)**(-3/2))           

            vf.write('%.4f %7.5f\n' % (T, f))          

        T = T + deltaT

vf.close()

\end{lstlisting}

Apêndice D - Código para obtenção das curvas de $U$ pela equação (6)

\begin{lstlisting}[language=Python]

import numpy  as np

from numpy import log as ln

from numpy import exp

pontos = 1000

T = 0.0001

deltaT = 0.001

with open('Ub.txt','w') as Ub:

    for i in range (1, pontos):

        U = 0

        for k in range(1, 100):    

            U += (k**2) / (exp((k**2)/T) - 1)            # u = 0           

        Ub.write('%.4f %7.5f\n' % (T, U))             

        T = T + deltaT        

Ub.close()

\end{lstlisting}

Referências

[1] S. J. Blundell, K. M. Blundell. Concepts in Thermal Physics, 2ª ed. Oxford University Press, 2010.

\newline

[2] A. G. Sotnikov. Chemical potentials and thermodynamic characteristics of ideal Bose- and Fermi-gases in the region of quantum degeneracy, Low Temperature Physics 43, 144, 2017.

O experimento de Oersted - determinando o campo magnético da Terra utilizando uma bússola

Wenderson Rodrigues Fialho da Silva - Viçosa, ‎22‎ de ‎julho‎ de ‎2021.

OBJETIVO

           Realizar uma demonstração sobre o experimento de Oersted e explorar a montagem experimental para estimar a magnitude do campo magnético da terra.

CONTEXTO TEÓRICO

Hans Christian Oersted (1777-1851) foi um físico e químico dinamarquês. Ele descobriu, em 1820, que a passagem de corrente elétrica por um fio condutor criava ao seu redor um campo magnético, cujas linhas de campo são circuncêntricas, contidas em planos perpendiculares ao condutor, com centro nele e cujo sentido é determinado pela regra da mão direita. O campo magnético interagia com a agulha de uma bússola (imã) posta próximo ao fio, a qual sofria uma deflexão. Tal experimento foi fundamental para o desenvolvimento e unificação da eletricidade e do magnetismo, o que contemporâneos de Oersted, como André Marie Ampère (1775-1836) e, posteriormente, James Clerk Maxwell (1831-1879), puderam explorar e matematizar em uma relação quantitativa, hoje conhecida como lei de Ampère-Maxwell.

Figura 1 – (A) Oersted em uma demonstração de sua descoberta. (B) André Marie Ampère e, em (C), o ainda jovem James Clerk Maxwell.

Devido a existência de correntes elétricas no interior da Terra, criadas, principalmente, pelo movimento do magma eletricamente carregado, nosso planeta se apresenta como um imã natural, possuindo um campo magnético. Aqui, com auxílio da montagem realizada para reprodução do experimento de Oersted e da lei de Ampère para um fio reto e longo (equação (1) abaixo), será estimado a magnitude de uma das componentes horizontais do campo magnético da Terra, a qual será comparada com aquela medida por um aparelho celular com medidor de campo magnético embutido, comumente encontrado na maioria dos smartphones.

$$ B =\frac{\mu_{0}i}{2πr}, \qquad (1) $$

onde $B$ é o campo magnético a uma distância $r$ do fio, $\mu_{0} = 1,256×10^{-6}T.m/A$ é a permeabilidade magnética no vácuo e $i$ é a corrente elétrica.

EXPERIMENTO 1 – O experimento de Oersted

MATERIAIS

        Fonte elétrica variável de corrente continua (0-12V); bússola; fio de cobre 4mm² acoplado a suporte de MDF.                         

METODOLOGIA

        Posicione a bússola sobre uma superfície horizontal longe de campos magnéticos (imãs). Alinhe a agulha da bussola na direção norte-sul. Posicione o suporte de modo a deixar o fio paralelo a agulha da bússola, cerca de 1 cm acima da mesma. Com a montagem realizada, confira se a fonte está em 0 volts e, posteriormente, conecte seus terminais aos do suporte. O resultado da montagem pode ser visualizado nas imagens da figura (2) abaixo. Um esquema ilustrativo das ligações elétricas é apresentado na figura (3).

Figura 2 - Montagem realizada para execução do experimento de Oersted e para medida do campo magnético da Terra.

Por fim, ligue a fonte elétrica que mostrará zero volts. Lentamente, aumente a tensão e observe a agulha da bússola. Ao final, desligue a fonte. 

QUESTIONÁRIO

1.      O que ocorre com a bússola?

2.      Invertendo as ligações nos terminais do suporte, o que muda no comportamento da bússola?

3.      Variando a tensão eletrica aplicada ao fio, consequentemente, a corrente elétrica, qual comportamento da agulha da bússola ?

EXPERIMENTO 2 – Estimativa do campo magnético da Terra utilizando uma bússola.

MATERIAIS

            Mesma montagem adotada no experimento anterior; régua ou paquímetro; celular com bússola digital (sensor de campo magnético) com aplicativo Magnetometer instalado.     

METODOLOGIA

            Com a fonte elétrica em 0 volts, ligue-a, aumentando a tensão elétrica de modo a observar uma deflexão na agulha da bússola de um ângulo . Anote a corrente elétrica  relacionada a tal desvio. Desligue a fonte. Com auxílio de uma régua ou paquímetro, meça a distância  do centro do fio ao centro da agulha da bússola, como na figura (3) abaixo. 

Figura 3 - Esquema representativo do circuito e da interação entre os campos $B_{Terra}$ e $B_{aplicado}$ .

        Do esquema da figura (3) acima, vale a equação (2) abaixo:

$$tan (\theta) = \frac{B_{aplicado}}{B_{Terra}}, \qquad (2)$$

            Com auxílio das equações (1) e (2), sendo  na equação (1), determine o campo magnético da Terra. Meça o campo magnético da Terra com auxílio do celular no aplicativo Magnetometer, alinhando a agulha da bússola digital na direção norte-sul. Anote o valor da componente y do campo magnético.

QUESTIONÁRIO

            1.      Compare os valores e discuta os resultados.

            2.      Por que consideramos a componente y do campo magnético para comparação ?

RESULTADOS

        O vídeo abaixo apresenta os procedimentos e resultados experimentais adotados.

 

Projeto para montagem de uma grade para sacada - Maquete 3D.

        Esse trabalho foi desenvolvido com auxilio de software de modelagem 3D SketchUp em fevereiro de 2021 para convecção da grade da sacada da varanda da casa dos meus pais.

     Acrescentarei uma imagem da grade quando pronta e instalada. Abaixo, um vídeo do projeto.

Construção de curvas isoentálpicas e curva de inversão para o gás de van der Waals em uma expansão de Joule-Kelvin

                                                                                      Wenderson Rodrigues F. da Silva - Viçosa, 07 de abril de 2022. 

Objetivo

        Esse trabalho tem como objetivo construir curvas isoentálpicas para o gás de van der Waals em uma expansão de Joule-Kelvin, bem como a curva de inversão curva de inversão. Esse trabalho foi desenvolvido para disciplina de termodinâmica estatística I da UFV.

Introdução

        Em processos onde se deseja liquefazer gases a expansão de joule-kelvin é um mecanismo de grande aplicabilidade. Uma vez que o gás, ao passar por uma constrição, pode resfriar, com o mecanismo adequado, pode-se projetar dispositivos eficientes destinados a essa função. Para tanto, faz-se necessário entender acerca dos conhecimentos teóricos envolvidos no processo de resfriamento e que pode levar a liquefação do gás, e o coeficiente de joule-kelvin (equação 1 abaixo), que descreve como o gás muda de temperatura quando reduzimos sua pressão, a entalpia constante, é o ferramental matemático que nos auxilia nesse entendimento.

$$\mu_{JK} = \left ( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_{H} = \frac{1}{C_{p}}\left [ T\left ( \frac{\partial V}{\partial T} \right)_{P} -V\right ].  \qquad(1)$$

        Como se trata de um processo que ocorre a entalpia constante, num gráfico $T^{*} x P^{*}$, uma vez que o coeficiente de joule-kelvin nos dá a variação da temperatura com a pressão para entalpia constante, quando esse é zero (um ponto crítico), tal coeficiente dará informações de interesse tanto teórico como prático, pois, para diferentes valores de entalpia, esses pontos estarão contidos numa curva denominada curva de inversão, por meio da qual pode-se conhecer a região de resfriamento do gás. Aqui, utilizaremos o modelo do gás de Van der Waals, com objetivo de construir curvas isoentálpicas para a expansão de Joule-Kelvin.

Metodologia

        Desenvolveu-se um programa de computador em linguagem Python que gera os dados reverentes as curvas isoentálpicas, bem como a curva de inversão. As curvas isoentálpicas foram obtidas usando as equações paramétricas (2) e (3), onde $\textit{T*}$ e $\textit{P*}$ são a temperatura reduzida e a pressão reduzida, respectivamente, e $\textit{V*}$ é o parâmetro. A demostração da equação (3) é apresentada no apêndice A. A equação (2) foi resolvida no exemplo 26.3.

$$ p^{*} = \frac{8T^{*}}{3V^{*} - 1} - \frac{3}{{(V^{*}})^{2}}, \qquad(2)$$

$$ T^{*} = \frac{3V^{*} - 1}{4(5V^{*} - 1)}\left ( \frac{H}{P_{c}V_{c}} + \frac{6}{V^{*}} \right ).\qquad(3)$$

        Para diferentes valores de entalpia, criou-se 10 curvas, com $\frac{H}{p_{c}V_{c}}$ variando de 4 a 40, uma vez que, por se tratar de um mesmo gás em análise, $p_{c}$ e $V_{c}$ são também constantes. Um loop com o comando $\textit{while}$ foi usado para isso. A curva de inversão foi obtida analiticamente e, com a equação resolvida, implementou-se uma rotina no código para gerar os pontos correspondente. Com base nas equações (2) de estado para o gás de van der Waals, fazendo $\left ( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_{H} = 0$ e $h = \frac{H}{P_{C} V_{C}}$, temos que:

$$\mu_{JK} = \left ( \frac{\partial P}{\partial T} \right)_{H} = 0 \qquad \rightarrow \qquad \left ( \frac{\partial T}{\partial V} \right)_{P} = \frac{T^{*}}{V^{*}},  \qquad(4) $$

da equação (2), isolando $T^{*}$ e derivando:

$$\left ( \frac{\partial T}{\partial V} \right)_{P} = \frac{1}{8} \left(3P^{*} +  \frac{6}{(V^{*})^{3}} - \frac{9}{(V^{*})^{2}} \right) = \frac{T^{*}}{V^{*}},\qquad(5)$$

substituindo na equação (5) a equação (2), obtemos:

$$T^{*} = \frac{3(V^{*}-1)^{2}}{4(V^{*})^{2}},\qquad(6)$$

daí, isolando V:

$$V^{*} = \frac{1}{3-2\sqrt{\frac{T^{*}}{3}}}.\qquad(7)$$

        Por fim, substituindo a equação(7) na equação(2), obtemos:

$$P^{*} = 9\left ({3-2\sqrt{\frac{T^{*}}{3}}}\right)\left ({2\sqrt{\frac{T^{*}}{3}}-1}\right),\qquad(8)$$

que representa a equação para a curva de inversão num grafico $\textit{T*}$ x $\textit{P*}$. O valores obtidos para cada uma das curvas estudadas e para a curva de inversão foram escritos em arquivos $\textit{.txt}$ separados, os quais foram utilizados para construção dos gráficos com auxílio do software $\textit{Origin}$.

Resultados e Discussões

        Com base nos dados gerados fez-se o grafico da figura (1) e (2) abaixo, que são referentes as curvas isoentálpicas e a curva de inversão do gás de van der Waals em uma expansão de Joule-Kelvin. 

Figura 1. Curvas isoentálpicas juntamente com a curva de inversão (curva pontilhada verde) para o gás de Van der Waals. Os pontos em verde sobre a intersecção das curva isoentálpicas e a curva de inversão correspondem as pontos de inversão.

Figura 2. Curva de inversão para dois valores de $h$. Em (A), $h = 4$  com $T \simeq 1,2T_{c}$ e, em (B), $h = 40$, com $T \simeq 6T_{c}$. Plotando as curvas isoentálpicas separadamente, a visualização do ponto de inversão (ponto verde) fica mais evidente.

    Se a pressão do gás de entrada for maior que a pressão no ponto de inversão, ao expandir, o gás irá aquecer. Por outro lado, se a pressão for menor do que a pressão no ponto de inversão, ao expandir, o gás se resfriará. Em outras palavras, o resfriamento ocorre à esquerda da curva de inversão quando $\left ( \frac{\partial T}{\partial P} \right)_{H} > 0$ e o aquecimento à direita, onde $\left ( \frac{\partial T}{\partial P} \right)_{H} < 0$ . Portanto, com o conhecimento acerca do fenômeno e tendo em vista que poderá ocorrer aquecimento do gás, se objetivo é que ele resfrie, é necessário que o gás a pressão mais alta que entra na máquina tenha uma pressão menor do que pressão do ponto de inversão. 

Apêndice A - Dedução da equação (3)

Partida da equação para energia interna para o gás de van der Waals:

$$ U = F + TS = \frac{3NK_{B}T}{2} - \frac{N^{2}a}{V}$$

Como $ N = \frac{8P_{c}V_{c}}{3T_{c}}$ , $b = \frac{T_{c}}{8P_{c}}$

e $a = \frac{27T_{c}^{2}}{64P_{c}}$, e temos também que: $T^{*} = \frac{T}{T_{c}}$ , $P^{*} = \frac{P}{P_{c}}$ e $V^{*} = \frac{V}{V_{c}}$.

Logo:

$$ U = P_{c}V_{c} \left (4T^{*} - \frac{3}{V^{*}} \right).\qquad(A1)$$

Como $H = U + PV$, podemos escrever $H$ como:

$$ H = P_{c}V_{c} \left (4T^{*} - \frac{3}{V^{*}} \right) + P_{c}P^{*}V_{c}V^{*},\qquad(A2)$$

o que resulta em:

$$ H = P_{c}V_{c} \left (\left (4T^{*} - \frac{3}{V*} \right) + P^{*}V^{*}\right).\qquad(A3)$$

Logo, da equação (2), podemos expressar $H = H(T^{*}, V^{*})$:

$$ \frac{H}{P_{c}V_{c}} =\left (\left (4T^{*} - \frac{3}{V^{*}} \right) + \left (\frac{8T^{*}}{(3V^{*}-1)} - \frac{3}{V*^{2}} \right)V^{*}\right),\qquad(A4)$$

assim, obtemos:

$$ \frac{H}{P_{c}V_{c}} = 4T^{*}-\frac{3}{V^{*}} + \frac{8T^{*}V^{*}}{\left (3V^{*}-1\right)} -\frac{3}{V^{*}} = 4T^{*} + \frac{8T^{*}V^{*}}{\left (3V^{*}-1\right)} -\frac{6}{V^{*}}.\qquad(A5) $$

Simplificando a expressão, obtemos:

$$ \frac{H}{P_{c}V_{c}} = \frac{12T^{*}V^{*} + 8T^{*}V^{*} - 4T^{*}}{\left (3V^{*}-1\right)} - \frac{6}{V^{*}} \qquad \rightarrow \qquad \frac{H}{P_{c}V_{c}} = \frac{4T^{*}(5V^{*} - 1)}{\left (3V^{*}-1\right)} - \frac{6}{V^{*}}.\qquad(A6)$$

Isolando $T^{*}$, obtemos a equação (3)

$$ T^{*} = \frac{3V^{*} - 1}{4(5V^{*} - 1)}\left ( \frac{H}{P_{c}V_{c}} + \frac{6}{V^{*}} \right ).\qquad(3)$$

(obs: A dedução da origem de U para o gás de VDW está relacionada com a dedução do exercício 26.5, o qual não foi exigida demostração por envolver a função de partição que não estudamos nesse curso. Por esse motivo, iniciei a dedução partindo do resultado de U. As deduções foram baseadas em [1]).

Apêndice B - Código-fonte

#import matplotlib.pyplot as plt

from math import sqrt

h = 4.0

#h = float(input('H / (p_c V_c) = '))

V = 0.4 #float(input('Valor inicial de V* = '))

delta = 0.01 #float(input('Tamanho dos subintervalos = ')

n = 1000

while h <= 40:

    # Gás de Van der Waals

    with open(f'T2_VDW_H={h}.txt', 'w') as file:

        for i in range(0, n):

            T = (3 * V - 1)*(h + 6 / V) / (4 * (5 * V - 1))

            p = (8 * T) / (3 * V - 1) - 3 / (V ** 2)

            V = V + delta

            file.write('%.4f %7.4f\n' % (p, T))

    file.close()

    h = h + 4

# Escreve a curva de inversão

T = 0.4 # valor escolhido para melhor ajustar as isoentalpicas

with open(f'T2_inv.txt', 'w') as file:

    for i in range(0, n):

        p = 9 * (3 - 2 * sqrt(T / 3)) * (2 * sqrt(T / 3) - 1)

        T = T + delta

        file.write('%.4f %7.4f\n' % (p, T))

file.close()

#plt.plot(p, T)

#plt.show()

Referências

[1] JOHNSTON, D. C.. Thermodynamic Properties of the van der Waals Fluid. Department of Physics and Astronomy, Iowa State University, Ames, Iowa, USA. (2014). Disponível em: \https://arxiv.org/pdf/1402.1205.pdf.

Projeto, construção e montagem de uma estante para livros

        Esse foi um trabalho que desenvolvi com auxilio de software de modelagem 3D SketchUp em janeiro de 2021 para acomodar meus livros, bem como guardar meus equipamentos de medidas e instrumentos científicos.

        Abaixo, imagens da execução e montagem da estante, que foi toda confeccionada com tábuas de madeira da espécie Pinus Taeda e caibros da espécie Eucalipto vermelho.

Projeto de uma cozinha planejada - Maquete 3D.

    Esse trabalho foi produzido com auxilio de software de modelagem 3D SketchUp em setembro de 2021 para uma cliente da Família.

    Nesse projeto, também fiz as instalações elétricas, cálculos para compra de materiais (lajotas, azulejos, cimento, argamassa...) e o dimensionamento de soleiras para portas e janelas, balcão e pia, os quais auxiliaram na produção dessas peças na Marmoraria. As imagens são apresentadas a seguir.

Abaixo, um vídeo apresentado o projeto com mais detalhes.