Verificação experimental da Lei de Ampère
Wenderson Rodrigues F. da Silva - UFV, fevereiro de 2018.
Observação: este texto é uma adaptação de um trabalho feito em grupo para a disciplina de Física Experimental 3.
Objetivo:
Este experimento
tem por objetivo estudar a validade da Lei de Ampère na determinação do campo
magnético produzido por um fio longo e retilíneo percorrido por uma corrente
elétrica.
Introdução:
A
descoberta do campo magnético gerado por corrente elétrica foi um dos pilares
da ciência moderna e deu margem para a criação da teoria eletromagnética, que
relaciona a eletricidade e o magnetismo, antes vistos como fenômenos desconexos.
Hans Christian Oersted (1777-1851), químico e físico dinamarquês, notou, em
seus experimentos, que a passagem de corrente elétrica por um fio desviava a
agulha magnetizada de uma bússola situada em suas proximidades. Posteriormente,
André Marie Ampère (1775-1836), matemático e físico francês, desenvolvendo uma
teoria para explicar o fenômeno observado por Oersted e descobriu que, na
ausência de qualquer imã (agulha magnética), dois fios percorridos por corrente
elétrica exerciam, um sobre o outro, uma força que podia ser atrativa ou
repulsiva, dependendo do sentido das correntes que percorriam os fios.
Figura
1 - Oersted descobre eletromagnetismo [1].
$$ \oint_{c} \vec B\cdot\,\vec {dl}=\mu_0.I.\qquad(1)$$
onde $\vec B$ é o vetor campo magnético, $\vec {dl}$ é um segmento infinitesimal de uma linha fechada $c$que contorna o fio (chamada circuito amperiano), percorrido por uma corrente elétrica $I$ e $\mu_0$ é a permeabilidade magnética do vácuo, sendo seu valor $\mu_0$= 1,2566×10−6 T m/A (Testa.metro/Ampère).
A
equação (1) pode ser reescrita como:
$$ \oint_{c} \vec B\cdot\,\vec {dl}=\oint_{c} Bdl cosθ=μ_0 I.\qquad(2)$$
Figura 2: Campo magnético $B$ produzido pela corrente elétrica que passa por um fio longo e retilíneo.
Tomando a linha fechada em azul (circuito amperiano) como sendo um círculo de raio $r$, com centro no fio, implica que $dl = rdθ$ e, assim:
$$ \oint_{c} \vec B\cdot\,\vec {dl}=r\oint_{c} Bcosθdθ=μ_0 I.\qquad(3) $$
Verifica-se experimentalmente que o campo magnético gerado por um fio longo e retilíneo percorrido por uma corrente elétrica é rotacional ao fio, ou seja, ele gira ao seu redor num plano perpendicular à linha do fio. Isso implica que o ângulo entre $\vec dl$ e $\vec B$ é zero e, assim, $cosθ = cos0 = 1$. Portando, para uma dada distância constante r do fio, podemos determinar um valor de $B$ correspondente. Além disso, como a linha fechada é um círculo de centro no fio, por simetria, pode-se ver que a intensidade do campo será a mesma em todos os pontos do círculo. Sendo assim, temos que:
$$ \oint_{c} \vec B\cdot\,\vec {dl}=r\oint_{c} Bcosθdθ=μ_0 I.\qquad(3) $$
Verifica-se experimentalmente que o campo magnético gerado por um fio longo e retilíneo percorrido por uma corrente elétrica é rotacional ao fio, ou seja, ele gira ao seu redor num plano perpendicular à linha do fio. Isso implica que o ângulo entre $\vec dl$ e $\vec B$ é zero e, assim, $cosθ = cos0 = 1$. Portando, para uma dada distância constante r do fio, podemos determinar um valor de $B$ correspondente. Além disso, como a linha fechada é um círculo de centro no fio, por simetria, pode-se ver que a intensidade do campo será a mesma em todos os pontos do círculo. Sendo assim, temos que:
$$ \oint_{c} \vec B\cdot\,\vec {dl}=rB\oint_{c}cosθdθ=2 \pi rB=μ_0 I.\qquad(4)$$
donde:
$$B=\frac{μ_0 I}{2 \pi r},\qquad(5)$$
onde $B$ é o módulo (intensidade) do campo magnético produzido pela corrente elétrica $I$ a uma distância $r$ do fio.
Material e Métodos:
Foram utilizados
os seguintes materiais e instrumentos de medidas: uma fonte de tensão DC; fio
retilíneo; um medidor de campo magnético (sonda Hall); suportes para o fio e a
sonda Hall; um Teslâmetro; uma régua. A seguir serão descritos os procedimentos
adotados para cada experimento.
Experimento 1: medida do campo magnético em função da
corrente elétrica
Um aparato
experimental foi montado como mostram as Figuras 3 e 4.
Figura 3: representação
do aparato experimental.
Figura 4: vista
aérea do aparato experimental.
O medidor de campo magnético foi tarado. r1 é a distância entre a sonda Hall e o fio retilíneo e r2 entre o centro da sonda e do fio, cujos valores são r1 = 1,0 mm e r2= 6,5 mm. Faz-se percorrer pelo fio uma corrente elétrica corrente elétrica, cujo valor é de I = 5,11A, a máxima fornecida pela fonte. Varia-se a corrente aplicada no sistema de 0,50A à 5,00A de 0,50A em 0,50 A. Anota-se o valor do campo magnético para cada corrente aplicada.
Experimento 2: medida do campo magnético em função da distância ao fio
Aqui analisou-se como o campo magnético corrente B varia com a distância corrente r ao eixo do fio, como na Figura 3. Para isso foram feitos os seguintes passos: adotou-se o mesmo aparato experimental da parte I. O Teslâmetro foi ligado e tarado. Ajustou-se a corrente elétrica em 5,00A. Mediu-se o campo magnético correspondente a cada distância r, de 0,00 até 10,00 cm, de 1 em 1 cm.
Resultado
e discussões:
Com os
valores do experimento 1, obteve-se a tabela (1), cujos valores
foram plotados no Gráfico
1 a seguir.
Gráfico 1: Campo
magnético B em função da corrente I.
Sabemos que o
campo magnético tem uma relação linear com a corrente, como mostra a Equação 4,
foi feito uma regressão linear e chegamos aos coeficientes angular a = 0,027 mT/A e o linear b
= 0,0026 mT, cuja relação é dada por:
$$B = 0,027 I-0,002.\qquad(6)$$
Com isso, relacionando as Equações (5) e (6), encontramos r = 6,8 mm. Sendo assim,
comparando esse valor com os medidos para r1 e r2, temos um erro percentual de
580% e 9,3% respectivamente. Logo, conclui-se experimentalmente que o sensor da
sonda se encontra no centro da sonda Hall, e o valor das distâncias ao fio
devem ser acrescidas de r1.
Variando a distância da
sonda Hall ao fio, mediu-se o campo magnético em função da distância, e preencheu-se a Tabela 2. Nota-se, segundo a Equação
5, que o campo magnético varia com o inverso da distância a fonte do campo.
Como forma de verificar tal dependência, fez-se uma terceira coluna na Tabela 2,
com os valores dos inversos das distâncias, afim de produzir um gráficode $B$ versus $1/r$ linear.
Sabendo que o sensor da sonda Hall se encontra mais ao centro da sonda, variou-se a distância r em relação ao fio de 0,00 cm à 10,00 cm, com os valores acrescidos de 0,65 cm, o que resultou numa variação de $r$ em de 0,65 cm à 10,65 cm.
De acordo com a
Equação (5), nota-se que o campo B varia com o inverso da distância r, como
pode-se ver, aparentemente, no gráfico (2) abaixo.
Gráfico 2 – Campo
magnético B em função da distância r ao fio.
Para verificar tal
dependência, plotou-se o gráfico (3) abaixo e fez-se uma regressão linear e chegou-se
à expressão (6) abaixo.
Gráfico 3 – Campo
magnético B em função do inverso da distância r ao fio.
$$B=0,096 r^{-1}-0,002.\qquad(7)$$
$$B=0,096 r^{-1}-0,002.\qquad(7)$$
sendo $r$ a distância do centro da sonda Hall até o fio em centímetros e $B$ o campo magnético medido em militesla.
Ajustando o valor de $μ_0$ para que sua unidade fique em termos de centímetros, o valor da corrente $I$ pode ser determinado, igualando o coeficiente angular da reta da regressão com o da equação (5), como se segue: $\frac{Iμ_0}{2π} = 0,096$ assim $I=4,7 A$. Sabendo que a corrente aplicada foi de 5,00A temos um erro percentual relativo de 6%, o que mostra que os resultados experimentais estão de acordo com a teoria.
Conclusões:
Verificou-se experimentalmente a lei de Ampère. No primeiro experimento, verificou-se a tendência linear de variação do campo com a corrente elétrica que percorria o fio.
Por meio do coeficiente angular igual a 0,027 mT/A, obteve-se o valor das distancias ao sensor da sonda Hall, r1 e r2, resultando em um erro percentual de 9,3% e 580% em relação aos seus valores medidos. Isso mostra experimentalmente que o sensor da sonda Hall deve estar localizado no centro da sonda, com d2 = 7,5 mm (erro menor).
No segundo experimento analisou-se a o campo magnético em função das distâncias do sensor ao fio. Estimou-se a corrente elétrica no fio e obteve-se um valor de 4,7 amperes, com erro percentual de 6% em relação aos 5,0 amperes aplicados.
Bibliografia:
[1] https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Oersted_discovers_electromagnetism.jpg/800px-Oersted_discovers_electromagnetism.jpg
Zemansky, Sears e Freedman, Young E. Física III Eletromagnetismo, Ed. Addisson Wesley 2009.
[1] https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f2/Oersted_discovers_electromagnetism.jpg/800px-Oersted_discovers_electromagnetism.jpg
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Nussenzveig, H.Moysés, Curso de Física Básica 3 - Eletromagnetismo, Ed. Edgard Blücher LTDA
São Paulo, 1997.
Alonso & Finn, Física um Curso Universitário - Campos e Ondas, Ed. Edgard Blücher LTDA São Paulo, 1972.
Alonso & Finn, Física um Curso Universitário - Campos e Ondas, Ed. Edgard Blücher LTDA São Paulo, 1972.
