Wenderson Rodrigues Fialho da Silva - Viçosa, julho de 2022.
Os bósons são partículas cujo spin pode assumir somente valores inteiros, os quais não obedecem ao princípio de exclusão de Pauli, portanto, pode-se encontrar mais de um bóson no mesmo estado quântico. O potencial químico dos bósons apresentam valores negativos ou nulo, sendo esse ultimo relacionado ao condensado de Bose-Einstein. Esse trabalho teve como objetivo estudar por meio de gráficos as dependência dos parâmetros termodinâmicos de bósons, como a fugacidade $z$, energia interna U e capacidade térmica $C_{v}$, ambos em função de $T/T_{c}$, onde $T$ é a temperatura e $T_{c}$ a temperatura crítica do sistema.
Desenvolveu-se um programa de computador em linguagem Python que gera os dados referentes as curvas $z$, $U$ e $C_{v}$, ambas em função de $T/T_{c}$. As equações (1, 2 e 3) foram utilizadas para obtenção dessas curvas. A demostração da equação (3) é apresentada no apêndice A.
$$ \frac{T}{T_{c}} = \left ( \frac{\zeta(\frac{3}{2})}{Li_{3/2}(z)} \right)\qquad(1)$$
$$U = \frac{3}{2}NK_{B}T\frac{Li_{5/2}(z)}{Li_{3/2}(z)}\qquad(2)$$
$$ C_{v} = \begin{cases}\frac{15}{4}\frac{\zeta(\frac{5}{2})}{\zeta(\frac{3}{2})}NK_{B}\left ( \frac{T}{T_{c}} \right)^{3/2} se\qquad T < T_{c}\qquad\qquad\qquad\qquad(3) \\\frac{3}{2}NK_{B}\left ( \frac{5}{2}\frac{Li_{5/2}(z)}{Li_{3/2}(z)} - \frac{3}{2}\frac{Li_{3/2}(z)}{Li_{1/2}(z)} \right)\qquad se\qquad T > T_{c}\end{cases}$$
A equação (1) e (2) são apresentadas no capítulo 30 na referencia [1]. Com auxílio do programa Origin pro 8.5, fez-se os gráficos com os dados gerados. Desenvolveu-se uma rotina que realiza-se os cálculos das equações das equações (1), (2) e (3) e salva-se tais dados em arquivos $.txt$, os quais foram utilizados para fazer os gráficos. O código de programação em linguagem Python é apresentado no apêndice B.
O resultado com as curvas obtidas é apresentado nos gráficos das Figuras (1) a seguir:
Figura 1. (A) fugacidade, (B) energia interna e em (C) capacidade térmica de bósons em função da temperatura sobre a temperatura crítica.
A energia interna está normalizada pelo número de partículas e pela energia térmica. A capacidade térmica pelo número de partículas e pela constante de Boltzmann. Para obtenção das curvas para o potencial químico de bósons e férmions, utilizou-se as equações para $v_{B}$ e $v_{F}$ abaixo, obtidas da referência [2]. O código de programação em Python utilizado é apresentado no apêndice C.
No gráfico (A) da Figura 1, como descrito na referencia [1] e em sala, a fugacidade para $T \leq T_{c}$ é igual a um. Para $T > T_{c}$ ela cai continuamente. Em (B), para a energia interna, a linha pontilhada representa a previsão dada pelo teorema da equipartição de energia. Para altas temperaturas, ou seja, $T >> T_{c}$ as curvas tendem a se encontrar, onde o caráter quântico do sistema não tem grandes contribuições, e a abordagem clássica já descreve o problema. Em (C), abaixo da temperatura crítica $T_{c}$, o comportamento quântico relacionado a capacidade térmica tem que ser levando em consideração para a descrição do sistema. Já para $T >> T_{c}$, o sistema se comporta como previsto pelo teorema da equipartição de energia.
Para obtenção das curvas dos potenciais químicos para bósons e para férmions foi utilizado as equações da referência [2].
Para bósons, foi utilizado a equação (4) abaixo, sendo $v_{B}=\frac{u_{B}}{T_{0}}$.
$$ v_{B} = \begin{cases}0, \qquad T\leq 1 \\\sum_{k=1}^{4} a_{k}(t-1)^k, \qquad 1 \leq T \leq 3.68 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(4) \\T\ln(\zeta(3/2)+T^{-3/2}) + T\ln(1+\zeta(3/2)(2T)^{-3/2}), \qquad T \ge 3.68\end{cases}$$
Para férmions, foi utilizado a equação (5) abaixo, sendo $v_{F}=\frac{u_{F}}{T_{F}}$
$$ v_{F} = \begin{cases}1+\sum_{k=1}^{4} a_{k}T^k, \qquad 0 \leq T \leq 1.36 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(5) \\T\ln \left ( \frac{2}{3\Gamma(3/2)} \right ) -T^{-3/2}) + T\ln\left ( 1-\frac{2}{3\Gamma(3/2)}(2T)^{-3/2} \right ), \qquad T \ge 1.36\end{cases}$$
Os coeficientes dos 4 primeiros temos da soma do cálculo do potencial químico são apresentados na Tabela 1 abaixo.
Tabela 1. Valores dos coeficiente utilizado para o calculo dos potenciais quimicos para bósons e fémions [2].
Fazendo $\mu_{B}=v_{B}T_{0}$, pode-se as curvas do potencial químico para bósons $\mu_{B}$ e para $\mu_{F}=v_{F}T_{0}$, obteve-se as curvas para férmios $\mu_{F}$. Os gráficos obtidos são apresentados na Figura (2) abaixo.
Figura 2. Potenciais químicos para bósons (A) e férmions (B) em função da temperatura.
Para $T \leq T_{0}$, o gráfico (A) para bósons da Figura 2 nos mostra que o potencial químico é zero. Para valores de $T > T_{0}$, o potencial químico assume valores negativos. Já para os férmions, o potencial químico apresentado no gráfico (B) assume valores positivos para $T < T_{F}$, e negativos para $T > T_{F}$.
Afim de poder-se comprar os valores de $U$ para $T < T_{c}$ com a curva obtidas pela equação (2), sendo ela uma aproximação da equação (6), fez-se o gráfico da Figura (3) a seguir, onde, na equação (6), $n_{k} = \frac{1}{e^{\frac{T_{c}}{K_{B}T}(E_{k}-\mu)}-1}$, $E_{k} = \frac{\hbar^{2}k^{2}}{2m}$ e $\mu = 0$ e fazendo as constantes igual a um. O código de programação em Python utilizado é apresentado no apêndice D.
$$ U = \sum_{k}n_{k}E_{k}\qquad(6) $$
Figura 3. Curvas para Energia interna $U$ obtidas da equação (1), a qual representa a aproximação do somatório da equação (6) para a integral, bem como a curva da para o somatório da equação (6).
Nota-se que a uma semelhança entre as curvas obtidas para energia interna $U$ para $T < T_{c}$, entretanto, quando $T$ se aproxima de $T_{c}$, observa-se que o valor previsto pelo somatório começa a adquirir valores menores em relação a integral. Para valores de $T < T_{c}$, os bósons tendem a se acumularem no nível de energia mais baixo, formando o condensado de Bose-Einstein. A aproximação feita do somatório para integral não é boa quando energia térmica $(K_{B}T)$ é da ordem da energia característica do sistema, e caráter quântico associado deve ser levado em consideração. Quando $(K_{B}T)$ é muito maior que a energia característica do sistema quântico, podemos fazer a aproximação e tratar o sistema como um contínuo de energia, de modo que o uso da integral não trará grandes desvios.
Apêndice A - Dedução da equação (3) utilizada para obtenção da curva da capacidade térmica $C_{v}$
Para $T < T_{c}$:
$$U=\frac{3}{2}NK_{B}T_{c}\frac{\zeta(\frac{5}{2})}{\zeta(\frac{3}{2})} \left ( \frac{T}{T_{c}} \right )^\frac{5}{2}, \qquad(7) $$
logo:
$$C_{v}=\left ( \frac{\partial U}{\partial T} \right )_{v}=\frac{15}{4}NK_{B}\frac{\zeta(\frac{5}{2})}{\zeta(\frac{3}{2})}T^\frac{3}{2}\qquad(8)$$
Para $T > T_{c}$, usando a equação 30.51 e $ \lambda _{T}^3=KT^\frac{3}{2} $ podemos escrever $U$ como:
$$U=\frac{3}{2}K_{B} \left ( 2S+1 \right )KVT^\frac{5}{2}Li_{5/2}(z),\qquad(9) $$
logo:
$$C_{v}=\left ( \frac{\partial U}{\partial T} \right )_{v}=\frac{15}{4}K_{B} \left ( 2S+1 \right ) KVT^\frac{5}{2}Li_{5/2}(z) + \frac{3}{2}K_{B} \left ( 2S+1 \right ) KVT^\frac{5}{2}\frac{dLi_{5/2}(z)}{dz}.\qquad(10)$$
Derivando a equação C.32 do apendice C da referencia [1], temos que $ \frac{dLi_{n}}{dz}=\frac{L_{i_{n-1}}}{z}\frac{dz}{dT}$. Portanto,
$$C_{v}=\frac{15}{4}K_{B}\left (2S+1 \right )KVT^\frac{3}{2}Li_{5/2}(z) + \frac{3}{2}K_{B}\left (2S+1 \right )KVT^\frac{5}{2}Li_{3/2}(z)\frac{1}{z}\frac{dz}{dT}.\qquad(11)$$
Como: $Li_{5/2}(z) \propto T^{-3/2}$,
$$\frac{d}{dT}(Li_{3/2}(z)) = Li_{1/2}(z)\frac{dz}{dT} = -\frac{3}{2}\beta T^{-5/2}.\qquad(12)$$
Portanto:
$$Li_{1/2}(z)\frac{dz}{dT} = -\frac{3}{2T}Li_{3/2}(z) \longrightarrow \frac{dz}{dT} = -\frac{3z}{2T}\frac{Li_{3/2}(z)}{Li_{1/2}(z)}.\qquad(13)$$
Substituindo em $C_{v}$:
$$C_{v} = \left(\dfrac{15}{4}K_{B}(2S+1)KVT^{3/2}Li_{5/2}(z) + \frac{3}{2}K_{B}(2S+1)KVT^{3/2}\left(\dfrac{-3}{2T} \right)\right)\frac{Li^{2}_{5/2}(z)}{Li_{1/2}(z)}$$
$$C_{v} = \frac{3}{2}K_{B}(2S+1)KVT^{3/2}\Bigg(Li_{5/2}(z)\frac{5}{2} - \frac{3}{2}\frac{Li^{2}_{5/2}(z)}{Li_{1/2}(z)}\Bigg).\qquad(14)$$
E como:
$$Li_{3/2}(z) = \frac{N}{V(2S+1)KT^{3/2}} = \frac{N\lambda^{3}_{T}}{V(2S+1)} \longrightarrow \frac{N}{Li_{3/2}(z)} = \frac{3}{2}K_{B}(2S+1)KT^{3/2}V,\qquad(15) $$
finalmente:
$$C_{v} = N\Bigg(\frac{5}{2}\frac{Li_{5/2}(z)}{Li_{3/2}(z)} - \frac{3}{2}\frac{Li_{3/2}(z)}{Li_{1/2}(z)}\Bigg).\qquad(16)$$
Apêndice B - Código para obtenção das curvas de $z$, $U$ e $C_{v}$
\begin{lstlisting}[language=Python]
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sun Jul 17 11:24:21 2022
@author: Wenderson R. F. da Silva
"""
from mpmath import*
import numpy as np
pontos = 1000
n1 = 5/2
n2 = 3/2
n3 = 1/2
z = 0.0000001
delta = 0.001
Q = T = U = Cv = 0
deltaT = 0.002612
with open('C_termica.txt','w') as C_termica:
with open('E_interna.txt','w') as E_interna:
with open('fugacidade.txt','w') as fugacidade:
for j in range(0, pontos):
Li1 = Li2 = Li3 = 0
for i in range(1, 10000):
Li1 = Li1 + z**i/i**n1
Li2 = Li2 + z**i/i**n2
Li3 = Li3 + z**i/i**n3
if T < 1: # T<Tc
U = 0.77*T**(5/2)
cv = 1.92*T**(3/2)
fugacidade.write('%.4f %7.5f\n' % (T, 1))
E_interna.write('%.4f %7.5f\n' % (T, U))
C_termica.write('%.4f %7.5f\n' % (T, cv))
else:
Q = (2.61/Li2)**(2/3) # Q = T/Tc para zeta(3/2)= 2.612
U = (3/2)*Q*(Li1/Li2)
cv = 3.75*(Li1/Li2) - (2.25*(Li2/Li3))
fugacidade.write('%.4f %7.5f\n' % (Q, z))
E_interna.write('%.4f %7.5f\n' % (Q, U))
C_termica.write('%.4f %7.5f\n' % (Q, cv))
z = z + delta
T = T + deltaT
fugacidade.close()
E_interna.close()
C_termica.close()
\end{lstlisting}
Apêndice C - Código para obtenção das curvas de $\mu_{bóson}$ e $\mu_{férmion}$
\begin{lstlisting}[language=Python]
import numpy as np
from numpy import log as ln
from numpy import pi
pontos = 1001
T = 0.0001
deltaT = 0.004
with open('vb.txt','w') as vb:
for j in range(1, pontos):
if T <= 1:
vb.write('%.4f %7.5f\n' % (T, 0))
elif T > 1 and T <= 3.68:
b = - 0.016*(T-1) - 1.064*(T-1)**2 + 0.299*(T-1)**3 - 0.043*(T-1)**4
vb.write('%.4f %7.5f\n' % (T, b))
else:
b = T*ln(2.612*T**(-3/2)) + T*ln(1 - 2.612*(2*T)**(-3/2))
vb.write('%.4f %7.5f\n' % (T, b))
T = T + deltaT
vb.close()
T=0
G = 0.88622692
with open('vf.txt','w') as vf:
for j in range(1, pontos):
if T <= 1.36:
f = 1 + 0.016*T - 0.957*T**2 - 0.293*T**3 + 0.209*T**4
vf.write('%.4f %7.5f\n' % (T, f))
else:
f = T*ln(2/(3*G)*T**(-3/2)) + T*ln(1 + 2/(3*G)*(2*T)**(-3/2))
vf.write('%.4f %7.5f\n' % (T, f))
T = T + deltaT
vf.close()
\end{lstlisting}
Apêndice D - Código para obtenção das curvas de $U$ pela equação (6)
\begin{lstlisting}[language=Python]
import numpy as np
from numpy import log as ln
from numpy import exp
pontos = 1000
T = 0.0001
deltaT = 0.001
with open('Ub.txt','w') as Ub:
for i in range (1, pontos):
U = 0
for k in range(1, 100):
U += (k**2) / (exp((k**2)/T) - 1) # u = 0
Ub.write('%.4f %7.5f\n' % (T, U))
T = T + deltaT
Ub.close()
\end{lstlisting}
Referências
[1] S. J. Blundell, K. M. Blundell. Concepts in Thermal Physics, 2ª ed. Oxford University Press, 2010.
\newline
[2] A. G. Sotnikov. Chemical potentials and thermodynamic characteristics of ideal Bose- and Fermi-gases in the region of quantum degeneracy, Low Temperature Physics 43, 144, 2017.
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